Questão 2. O valor da integral trigonométrica integral0^pi / 2 cos ^3(x) sen^3(x) d x é:
(b) 215.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi/2 cos^3(x)sin^3(x),dx
Este é um problema de integração de produto de funções trigonométricas com expoentes ímpares; vamos usar substituição e a identidade sin^2(x)+cos^2(x)=1.

Passo 2

Como ambos os expoentes são ímpares, reservamos um fator de cos(x) para absorver em dx. Definimos
u=sin(x),, du=cos(x),dx
Então a parte restante da integranda fica sin^3(x)cos^2(x).

Passo 3

Substituímos cos^2(x)=1-sin^2(x) e trocamos os limites: quando x=0 temos u=0, e quando x=pi/2 temos u=1. A integral vira
integral0^1 u^3l(1-u^2r),du

Passo 4

Expandimos e integramos termo a termo:
integral0^1(u^3-u^5),du=l[u^44-u^66r]0^1=14-16

Passo 5

Calculamos a diferença:
14-16=3-212=112
Logo, esse é o valor da integral.

Resposta

1/12

Exercícios relacionados