[2,0] Calcular as integrais
integral0^infty 1p+e^q x d x
onde p, q>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^infty1p + e^q x,dx
onde p>0 e q>0.
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição para simplificar o termo exponencial e depois resolver a integral resultante por frações parciais.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = e^q x,
logo
dx = dtq,t,
e os limites em x viram em t: quando x=0, t=1; quando xtoinfty, ttoinfty.
Assim a integral torna-se
integral0^infty1p + e^q x,dx = integral1^infty1p + t;dtq,t = 1qintegral1^inftydtt,(p+t)

Passo 3

Para integrar
integral1^inftydtt,(p+t),
fazemos frações parciais. Escrevemos
1t,(p+t) = At + Bp+t
Multiplicando por t(p+t) vem
1 = A(p+t) + B,t = A,p + (A+B),t,
logo A p = 1 e A+B=0. Daí
A = 1p, B = -1p,
ou seja
1t(p+t) = 1pl(1t - 1p+tr)

Passo 4

Substituindo na integral, temos
1qintegral1^inftydtt(p+t) = 1qcdot1pintegral1^inftyl(1t-1p+tr)dt
As duas integrais separadas divergem, mas a diferença converge. Calculamos
integral1^Nl(1t-1p+tr)dt = l[ln t - ln(p+t)r]1^N = lnNN+p - ln11+p
Fazendo Ntoinfty nota-se NN+pto1, restando
limNtoinftyintegral1^Nl(1t-1p+tr)dt = ln(1+p)
Logo toda a integral vale
1qcdot1p,ln(1+p) = ln(1+p)p,q

Resposta

boxedintegral0^infty1p+e^q x,dx = ln(1+p)p,q

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