[2,0] Considere a regiäo R delimitada pelas curvas y=x e y=x^2. Seja S o sólido obtido pela rotação de R em torno da reta x=2. Escreva as integrais que expressão o volume do sólido S pelo método das:
(a) Fatias.
(b) Cascas Cilindricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S gerado pela rotação da região R limitada por y=x e y=x^2 em torno da reta x=2. O conteúdo é cálculo de volume por método de fatias (discos com furo) e método de cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos de interseção de y=x e y=x^2:
x^2 = x ;Longrightarrow; x=0 ou x=1
Para fatias horizontais (variável y), note que em 0<= y<=1 a região vai de x=y (linha) até x=raizy (parábola invertida).
Para cascas verticais (variável x), em 0<= x<=1 a altura da região é h(x)=x - x^2.

Passo 3

Método das fatias (discos com furo):
– Usamos fatias horizontais em y.
– Raio externo:
R(y)=distância de x=y até x=2: R(y)=2 - y âé
– Raio interno:
r(y)=distância de x=raizy até x=2: r(y)=2 - raizy âé
Volume via integração em y:
V=integral0^1pil[l(2 - yr)^2 ;-;l(2 - raizyr)^2r],dy

Passo 4

Método das cascas cilíndricas:
– Usamos fatias verticais em x.
– Raio da casca:
r(x)=distância de x até 2: r(x)=2 - x âé
– Altura da casca:
h(x)=diferença ytopo-yfundo = x - x^2 ç
Volume via integração em x:
V=integral0^12pi,(2 - x),(x - x^2),dx

Resposta

(a)
V=integral0^1pil[(2 - y)^2 - (2 - raizy)^2r],dy
(b)
V=integral0^12pi,(2 - x),(x - x^2),dx

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