Sejam x e y os catetos de um triângulo retângulo e theta o ângulo oposto a y. Supondo-se que x=12 e que theta decresce à razão de 1 / 30 rad / s, calcule y^prime(t) quando theta=pi / 3.

Passo 1

O enunciado envolve um triângulo retângulo com catetos x (constante) e y (variável) e o ângulo theta oposto a y. O conteúdo é de taxas relacionadas (related rates), pois theta varia no tempo e queremos dydt.

Passo 2

Relacionamos as três quantidades usando a definição da tangente num triângulo retângulo:
tan(theta) = yx
Como x é constante, escrevemos
y = x ,tan(theta)

Passo 3

Diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo t. Como x é constante, aparece como fator:
dydt = x ,ddtl[tan(theta)r]
E sabemos que
ddtl[tan(theta)r] = sec^2(theta),dthetadt
Logo,
dydt = x ,sec^2(theta),dthetadt

Passo 4

Substituímos x=12 e dthetadt=-tfrac130,rad/s:
dydt = 12;sec^2(theta);gl(-130gr)

Passo 5

Para theta = pi3 temos cosl(tfracpi3r)=tfrac12, então
sec^2l(tfracpi3r) = l(1cos(tfracpi3)r)^2 = (2)^2 = 4
Logo
dydt = 12 times 4 times l(-130r) = -4830 = -85

Resposta

y'(t) = -85(unidades de comprimento por segundo)

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