( 1,0 ponto) Verdadeiro (V) ou Falso (F)? Justifique suas respostas.
(a) (0,25) Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K e W1, W2 subespaços vetoriais de V. Então W1 cup W2 é um subespaço vetorial de V;
(b) ( 0,25 ) Existe uma base de R^3 que contém os vetores ( 1,-1,0 ) e ( 0,1,1 );
(c) (0,25) Se T: U V é uma transformação linear injetiva e U, V são C-espaços vetoriais de dimensão finita, então dimC U <= dimC V;
(d) (0,25) Seja V um C-espaço vetorial de dimensão finita e V^* o C-espaço vetorial dual, isto é, V^*=f: V C ; f é funcional linear . Então V e V^* são espaços vetoriais isomorfos.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar quatro afirmações de álgebra linear, marcando cada uma como Verdadeira ou Falsa e justificando:
(a) união de subespaços é subespaço;
(b) existência de base de R^3 contendo dois vetores dados;
(c) para transformação linear injetiva entre espaços complexos de dimensão finita, relação entre dimensões;
(d) isomorfismo entre um espaço vetorial de dimensão finita e seu dual.

Passo 2

(a) A união W1 cup W2 falha em fechar sob soma. Por exemplo, escolha
vin W1setminus W2, win W2setminus W1
Então v+wnotin W1 (caso contrário w=(v+w)-vin W1) e nem em W2. Logo v+wnotin W1cup W2, e W1cup W2 não é subespaço.

Passo 3

(b) Os vetores ,(1,-1,0) e (0,1,1) são linearmente independentes, pois
a(1,-1,0)+b(0,1,1)=(0,0,0)implies a=0,;-a+b=0,;b=0implies a=b=0
Qualquer conjunto linearmente independente em R^3 pode ser completado a uma base, então existe base de R^3 que contém esses dois vetores.

Passo 4

(c) Se T:Uto V é injetiva, então ker T=0. Pelo teorema da dimensão (posto-nulidade),
dimCU=dimker T+dimImT =0+dimImT<=dim V
Logo dimCU<=dimCV.

Passo 5

(d) Para V de dimensão finita sobre C, tem-se
dimCV^*=dimCV
Do mesmo modo que dois espaços vetoriais finito-dimensionais sobre o mesmo corpo e com igual dimensão são isomorfos, concluímos que V e V^* são isomorfos como espaços vetoriais.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) V
(d) V

Exercícios relacionados