( 1,0 ponto) Verdadeiro (V) ou Falso (F)? Justifique suas respostas.
(a)
Sejam
um espaço vetorial sobre um corpo
e
subespaços vetoriais de
. Então
é um subespaço vetorial de
;
(b) ( 0,25 ) Existe uma base de
que contém os vetores (
) e (
);
(c) (0,25) Se
é uma transformação linear injetiva e
são
-espaços vetoriais de dimensão finita, então
;
(d) (0,25) Seja
um
-espaço vetorial de dimensão finita e
o
-espaço vetorial dual, isto é,
é funcional linear
. Então
e
são espaços vetoriais isomorfos.
(a)
(b) ( 0,25 ) Existe uma base de
(c) (0,25) Se
(d) (0,25) Seja
Passo 1
O enunciado pede para avaliar quatro afirmações de álgebra linear, marcando cada uma como Verdadeira ou Falsa e justificando:
(a) união de subespaços é subespaço;
(b) existência de base de contendo dois vetores dados;
(c) para transformação linear injetiva entre espaços complexos de dimensão finita, relação entre dimensões;
(d) isomorfismo entre um espaço vetorial de dimensão finita e seu dual.
(a) união de subespaços é subespaço;
(b) existência de base de
(c) para transformação linear injetiva entre espaços complexos de dimensão finita, relação entre dimensões;
(d) isomorfismo entre um espaço vetorial de dimensão finita e seu dual.
Passo 2
(a) A união
falha em fechar sob soma. Por exemplo, escolha
Então
(caso contrário
) e nem em
. Logo
, e
não é subespaço.
Passo 3
(b) Os vetores
e
são linearmente independentes, pois
Qualquer conjunto linearmente independente em
pode ser completado a uma base, então existe base de
que contém esses dois vetores.
Passo 4
(c) Se
é injetiva, então
. Pelo teorema da dimensão (posto-nulidade),
Logo
.
Passo 5
(d) Para
de dimensão finita sobre
, tem-se
Do mesmo modo que dois espaços vetoriais finito-dimensionais sobre o mesmo corpo e com igual dimensão são isomorfos, concluímos que
e
são isomorfos como espaços vetoriais.
Resposta
(a) F
(b) V
(c) V
(d) V
(b) V
(c) V
(d) V