A Lei de Boyle para a dilatação dos gases é dada pela equação P V=C, onde P é a pressão, medida em Newtons por unidade de área, V é o volume e C é uma constante. Num certo instante, a pressão é de 3.000 N / m^2, o volume é de 5 m^3 e está crescendo à taxa de 2 m^3 / min. Qual é a taxa de variação da pressão nesse instante?

Passo 1

O enunciado envolve a Lei de Boyle, que diz que para um gás ideal
P,V = C,
onde P é a pressão, V é o volume e C é constante. Num certo instante temos
P=3000 N/m^2, V=5 m^3, dVdt=2 m^3/min,
e queremos encontrar dPdt nesse instante.

Passo 2

Diferenciamos implicitamente em relação ao tempo t a relação
P,V = C
Como C é constante, tfracddt(PV)=0. Usando a regra do produto,
ddt(P,V) = PdVdt + VdPdt =0

Passo 3

Isolando dPdt na equação acima, obtemos
VdPdt = -PdVdt Longrightarrow dPdt = -PV,dVdt
Agora substituímos P=3000, V=5 e tfracdVdt=2:
dPdt = -30005times 2 = -600times 2 = -1200

Resposta

A pressão está diminuindo à taxa de
dPdt = -1200 N/m^2 per min

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