[2,0] Defina o que é a função de distribuição radial, em seguida escreva a expressão da função de distribuição radial, P(r), de um elétron no orbital 1s de um átomo hidrogenóide, e determine o raio em que é mais provável encontrar o elétron.
6) [2,0] No componente curricular Introdução a Química Quântica vimos os princípios da teoria quântica, estudamos suas aplicações para alguns sistemas modelos e por fim para o átomo de hidrogênio.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é a função de distribuição radial, depois escrever a expressão de P(r) para o elétron no orbital 1s de um átomo hidrogenóide e, por fim, determinar o valor de r onde essa função atinge seu máximo (isto é, onde é mais provável encontrar o elétron). O conteúdo envolve a parte de mecânica quântica do átomo de hidrogênio e conceitos de probabilidade.

Passo 2

A função de distribuição radial P(r) dá a probabilidade de encontrar o elétron entre r e r+\mathrm{d}r. Ela é obtida a partir da função de onda separada em parte radial R_{n,l}(r) e parte angular \mathcal{Y}_{l}^{m}(\theta,\varphi), integrando-se a parte angular. O resultado é
P(r)=4\pi\,r^{2}\,\bigl|R_{n,l}(r)\bigr|^{2}
e a probabilidade de achar o elétron nesse intervalo é P(r)\,\mathrm{d}r.

Passo 3

Para o orbital 1s n=1, l=0 de um átomo hidrogenoide de número atômico Z, a parte radial é
R_{1,0}(r)=2\Bigl(\frac{Z}{a_{0}}\Bigr)^{3/2}\exp\!\bigl(-\tfrac{Zr}{a_{0}}\bigr)
onde a_{0} é o raio de Bohr. Substituindo em P(r) obtemos
P(r) =4\pi\,r^{2}\Bigl[2\Bigl(\frac{Z}{a_{0}}\Bigr)^{3/2}\mathrm e^{-\tfrac{Zr}{a_{0}}}\Bigr]^{2} =16\pi\Bigl(\frac{Z}{a_{0}}\Bigr)^{3}r^{2}\mathrm e^{-\tfrac{2Zr}{a_{0}}}.

Passo 4

Para achar o máximo de P(r), calculamos \tfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}=0. Como 16\pi(Z/a_{0})^{3} é constante, basta derivar r^{2}e^{-2Zr/a_{0}}:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\bigl(r^{2}e^{-2Zr/a_{0}}\bigr) =2r\,e^{-2Zr/a_{0}}-\,\frac{2Z}{a_{0}}\,r^{2}e^{-2Zr/a_{0}} =r\,e^{-2Zr/a_{0}}\Bigl(2-\frac{2Zr}{a_{0}}\Bigr).
Igualando a zero vem r=0 ou 2-\tfrac{2Zr}{a_{0}}=0. O máximo não é em r=0, mas em
2-\frac{2Zr}{a_{0}}=0 \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{a_{0}}{Z}.

Resposta

O raio em que é mais provável encontrar o elétron no orbital 1s de um átomo hidrogenoide é
r=\frac{a_{0}}{Z}.

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