[2,0] As funções de onda para o átomo de hidrogênio já são conhecidas. Considerando este fato, mostre que expressão abaixo é a forma da equação de Schrödinger para o estado fundamental do átomo de hidrogênio.
\widehat{H} \psi=-\frac{m_{e} e^{4}}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^{2}} \psi

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao aplicarmos o Hamiltoniano do átomo de hidrogênio sobre a função de onda do estado fundamental já conhecida, obtemos
\widehat H\,\psi \;=\; -\,\frac{m_e e^4}{8\,\varepsilon_0^2\,h^2}\,\psi
Aqui o conteúdo é resolução da equação de Schrödinger estacionária para o estado 1s. Vamos precisar da forma do Hamiltoniano em coordenadas esféricas, da função de onda 1s e da definição do raio de Bohr a_0.

Passo 2

O Hamiltoniano do elétron no átomo de hidrogênio (ignorando spin) é
\widehat H \;=\; -\,\frac{\hbar^2}{2\,m_e}\,\nabla^2 \;-\;\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,r}
como o enunciado usa h em vez de \hbar, lembramos que \hbar = \tfrac{h}{2\pi}, de modo que
-\,\frac{\hbar^2}{2\,m_e} = -\,\frac{h^2}{8\pi^2\,m_e} \,.
A função de onda 1s é
\psi(r)\;=\;\frac{1}{\sqrt{\pi\,a_0^3}}\,e^{-r/a_0} \quad\text{com}\quad a_0 \;=\;\frac{4\pi\varepsilon_0\,h^2}{m_e\,e^2}\,.

Passo 3

Calculemos \nabla^2\psi em coordenadas radiais. Para uma função radial \psi=\psi(r) vale
\nabla^2\psi =\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^2\frac{d\psi}{dr}\Bigr)\,.
Como \psi' = -\tfrac{1}{a_0}\psi, temos
r^2\frac{d\psi}{dr} =-\frac{r^2}{a_0}\,\psi, \quad \frac{d}{dr}\Bigl(r^2\frac{d\psi}{dr}\Bigr) =-\frac{2r}{a_0}\psi+\frac{r^2}{a_0^2}\psi,
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\nabla^2\psi =\Bigl(\tfrac{1}{a_0^2}-\tfrac{2}{a_0\,r}\Bigr)\psi.

Passo 4

Agora aplicamos \widehat H sobre \psi:
\widehat H\,\psi =-\frac{h^2}{8\pi^2 m_e}\Bigl(\tfrac{1}{a_0^2}-\tfrac{2}{a_0r}\Bigr)\psi \;-\;\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,r}\,\psi.
Reagrupando termos em 1/r e constantes:
\widehat H\,\psi =\Bigl[-\frac{h^2}{8\pi^2 m_e\,a_0^2}\Bigr]\psi \;+\; \Bigl[\frac{h^2}{4\pi^2 m_e\,a_0}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigr]\frac{\psi}{r}.

Passo 5

Usamos a definição de a_0:
a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\,h^2}{m_e\,e^2} \;\Longrightarrow\; \frac{h^2}{4\pi^2 m_e\,a_0} =\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} \quad\text{e}\quad \frac{h^2}{8\pi^2 m_e\,a_0^2} =\frac{m_e\,e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\,h^2}\,.
Com isso o coeficiente do 1/r fica zero (anos de Bohr!), sobrando só termo constante:
\widehat H\,\psi =-\frac{m_e\,e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\,h^2}\,\psi.
Finalmente, usando h^2=4\pi^2\hbar^2 em sentido inverso, reescrevemos
-\frac{m_e\,e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\,h^2} = -\frac{m_e\,e^4}{8\,\varepsilon_0^2\,h^2}\,.

Resposta

\widehat{H}\,\psi =-\frac{m_{e} e^{4}}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^{2}}\,\psi.

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