As funções de onda para o átomo de hidrogênio já são conhecidas. Considerando este fato, mostre que expressão abaixo é a forma da equação de Schrödinger para o estado fundamental do átomo de hidrogênio.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao aplicarmos o Hamiltoniano do átomo de hidrogênio sobre a função de onda do estado fundamental já conhecida, obtemos
Aqui o conteúdo é resolução da equação de Schrödinger estacionária para o estado
. Vamos precisar da forma do Hamiltoniano em coordenadas esféricas, da função de onda
e da definição do raio de Bohr
.
Passo 2
O Hamiltoniano do elétron no átomo de hidrogênio (ignorando spin) é
como o enunciado usa
em vez de
, lembramos que
, de modo que
A função de onda
é
Passo 3
Calculemos
em coordenadas radiais. Para uma função radial
vale
Como
, temos
logo
Passo 4
Agora aplicamos
sobre
:
Reagrupando termos em
e constantes:
Passo 5
Usamos a definição de
:
Com isso o coeficiente do
fica zero (anos de Bohr!), sobrando só termo constante:
Finalmente, usando
em sentido inverso, reescrevemos