[1,5] Mostre que as transições rotacionais de uma molécula diatômica ocorrem na região de micro-ondas ou na região do infravermelho distante do espectro eletromagnético.
Algumas considerações para resolução da questão: Considere que a molécula diatômica pode ser tratada como um rotor rígido.
A massa reduzida de uma molécula diatômica é geralmente em torno de 10^{-25} a 10^{-26} \mathrm{~kg} e o comprimento da ligação é aproximadamente 10^{-10} \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, tratando a molécula diatômica como um rotor rígido, as transições rotacionais caem na região de micro-ondas ou no infravermelho distante. Para isso, vamos usar o modelo de rotor rígido com níveis de energia quânticos e estimar a energia dos fótons emitidos ou absorvidos.

Passo 2

No modelo de rotor rígido, os níveis de energia são dadas por
E_J = \frac{\hbar^2}{2I}\,J(J+1),
onde J=0,1,2,\dots é o número quântico rotacional e
I = \mu\,r^2
é o momento de inércia, com \mu a massa reduzida e r o comprimento da ligação.

Passo 3

A diferença de energia entre dois níveis consecutivos J\to J+1 é
\Delta E = E_{J+1}-E_J = \frac{\hbar^2}{2I}\Bigl[(J+1)(J+2)-J(J+1)\Bigr] = \frac{\hbar^2}{I}\,(J+1).
Para a transição mais baixa, J=0\to1, temos
\Delta E_{0\to1} = \frac{\hbar^2}{I}.

Passo 4

Agora estimamos numericamente usando \mu\approx10^{-26}\,\mathrm{kg} e r\approx10^{-10}\,\mathrm{m}:
I = \mu\,r^2 \approx 10^{-26}\times(10^{-10})^2 = 10^{-46}\,\mathrm{kg\cdot m^2},
\hbar \approx 1{,}05\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s} \;\Longrightarrow\; \hbar^2 \approx 1{,}1\times10^{-68}\,\mathrm{J^2\cdot s^2}.
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\Delta E_{0\to1} \approx \frac{1{,}1\times10^{-68}}{10^{-46}} =1{,}1\times10^{-22}\,\mathrm{J}.

Passo 5

Convertendo em frequência e comprimento de onda:
\nu = \frac{\Delta E}{h} \approx \frac{1{,}1\times10^{-22}}{6{,}63\times10^{-34}} \approx1{,}7\times10^{11}\,\mathrm{Hz},
\lambda = \frac{c}{\nu} \approx \frac{3{,}0\times10^8}{1{,}7\times10^{11}} \approx2{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m} =2\,\mathrm{mm}.
Esses valores estão na faixa de micro-ondas ( 10^{9} 10^{1}^{2} Hz) e, para transições com J>0, a frequência sobe até ~ 10^{1}^{3} Hz, entrando no infravermelho distante.

Resposta

As transições rotacionais de uma molécula diatômica ocorrem tipicamente na região de micro-ondas (∼ 10^{1}^{0} 10^{1}^{2} Hz, λ∼mm–cm) ou, para níveis mais altos de J, na região do infravermelho distante (∼ 10^{1}^{2} 10^{1}^{3} Hz, λ∼100– 10\mum).

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