[2,0] Questão 1: Mostre que os limites
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2 e lim (x, y) (0,0) x y(x-y)x^4+y^4
não existem.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os seguintes limites em R^2 não existem quando (x,y)to(0,0):
f(x,y)=x,yx^2+y^2 e g(x,y)=x,y,(x-y)x^4+y^4
O método que vamos usar é o de tomar caminhos distintos (retas y=m x ou outras curvas) e ver que os valores de f ou de g dependem do caminho. Se obtivermos limites diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Analisando
f(x,y)=x,yx^2+y^2,
tomemos a reta y=x. Substituindo y=x em f obtemos
f(x,x) =xcdot xx^2+x^2 =x^22x^2 =12
Agora tomemos a reta y=-x. Substituindo y=-x em f obtemos
fl(x,-xr) =xcdot(-x)x^2+(-x)^2 =-x^22x^2 =-12
Como ao longo de y=x o valor tende a tfrac12 e ao longo de y=-x tende a -tfrac12, o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Passo 3

Agora analisamos
g(x,y)=x,y,(x-y)x^4+y^4
Tomemos a reta genérica y=m,x, com mneq0. Então
gl(x,mxr) =x,(m x)l(x-mxr)x^4+(m x)^4 =m,x^2,(1-m),xx^4l(1+m^4r) =m,(1-m)1+m^4;x^3x^4 =m,(1-m)1+m^4;1x
Quando xto0, essa expressão diverge em módulo para +infty (ou para -infty, se m(1-m)<0), salvo nos casos especiais m=0 ou m=1 em que o numerador zera e dá 0. Logo, ao escolher retas com mneq0,1 obtemos divergência, e em m=0 ou m=1 obtemos 0. Como o comportamento depende do caminho, o limite de g(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

Os dois limites não existem.

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