Questão 1: Mostre que os limites
não existem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os seguintes limites em
não existem quando
:
O método que vamos usar é o de tomar caminhos distintos (retas
ou outras curvas) e ver que os valores de
ou de
dependem do caminho. Se obtivermos limites diferentes, concluímos que o limite não existe.
Passo 2
Analisando
tomemos a reta
. Substituindo
em
obtemos
Agora tomemos a reta
. Substituindo
em
obtemos
Como ao longo de
o valor tende a
e ao longo de
tende a
, o limite de
em
não existe.
Passo 3
Agora analisamos
Tomemos a reta genérica
, com
. Então
Quando
, essa expressão diverge em módulo para
(ou para
, se
), salvo nos casos especiais
ou
em que o numerador zera e dá
. Logo, ao escolher retas com
obtemos divergência, e em
ou
obtemos
. Como o comportamento depende do caminho, o limite de
em
não existe.
Resposta
Os dois limites não existem.