Questão 5 (2 pontos). Uma empresa deseja modelar o custo de produção de um produto usando a função:
Onde
representa a quantidade produzida e
o custo total em milhares de reais.
- Determine o número de unidades que deve ser produzida para minimizar o custo.
- Justifique sua resposta usando o teste da segunda derivada.
- Interprete a resposta no contexto do problema: o que significa economicamente o ponto encontrado?
Passo 1
O enunciado dá a função de custo total (em milhares de reais)
onde
é a quantidade produzida. O objetivo é encontrar o valor de
que minimiza
, justificando com o teste da segunda derivada e interpretar economicamente esse ponto.
Passo 2
Para achar extremos de
, calculamos a derivada primeira:
Passo 3
Igualamos
para obter os pontos críticos. Multiplicando por 10,
Aí o discriminante é
logo
Passo 4
Calculamos a segunda derivada para usar o teste de concavidade:
Passo 5
Avaliamo-la em cada crítico:
Para :
Para
indica máximo local.
Para :
Para
indica mínimo local.
Passo 6
O único mínimo de
ocorre em
Passo 7
Economicamente, esse valor de
é a quantidade de unidades que torna o custo total o mais baixo possível. Ou seja, produzir cerca de 27 unidades leva ao ponto em que o custo marginal muda de negativo para positivo, garantindo custo mínimo.
Resposta
A produção deve ser
pois neste ponto
e
atinge mínimo.