Questão 5 (2 pontos). Uma empresa deseja modelar o custo de produção de um produto usando a função:
C(x)=100+50 x-5 x^2+x^310
Onde x representa a quantidade produzida e C(x) o custo total em milhares de reais.
  • Determine o número de unidades que deve ser produzida para minimizar o custo.
  • Justifique sua resposta usando o teste da segunda derivada.
  • Interprete a resposta no contexto do problema: o que significa economicamente o ponto encontrado?

Passo 1

O enunciado dá a função de custo total (em milhares de reais)
C(x)=100+50,x-5,x^2+x^310
onde x é a quantidade produzida. O objetivo é encontrar o valor de x que minimiza C(x), justificando com o teste da segunda derivada e interpretar economicamente esse ponto.

Passo 2

Para achar extremos de C, calculamos a derivada primeira:
C'(x)=ddxl(100+50x-5x^2+x^310r) =50-10x+3x^210

Passo 3

Igualamos C'(x)=0 para obter os pontos críticos. Multiplicando por 10,
3x^2-100x+500=0
Aí o discriminante é
De<a =(-100)^2-4cdot3cdot500=10000-6000=4000,
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x=100pmraiz40006 =100pm20raiz106 =50pm10raiz103

Passo 4

Calculamos a segunda derivada para usar o teste de concavidade:
C''(x)=ddxl(50-10x+tfrac3x^210r) =-10+6x10 =-10+0.6,x

Passo 5

Avaliamo-la em cada crítico:
Para x1=(50-10raiz10)/3approx6.13:
C''(x1)=-10+0.6cdot6.13approx-6.32<0
indica máximo local.
Para x2=(50+10raiz10)/3approx27.21:
C''(x2)=-10+0.6cdot27.21approx6.33>0
indica mínimo local.

Passo 6

O único mínimo de C(x) ocorre em
x=50+10raiz103approx27.21

Passo 7

Economicamente, esse valor de x é a quantidade de unidades que torna o custo total o mais baixo possível. Ou seja, produzir cerca de 27 unidades leva ao ponto em que o custo marginal muda de negativo para positivo, garantindo custo mínimo.

Resposta

A produção deve ser
x=50+10raiz103approx27,2 unidades,
pois neste ponto C''(x)>0 e C(x) atinge mínimo.

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