Questão. (
) Considere a função
dada por
(Adaptado) Ex. 11 da
lista de exercícios da seção 4.3
(a) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
Usando o teste da
derivada:
, então
são os pontos críticos. A análise do sinal de
segue do sinal do produto dos sinais dos fatores
e
. Fazendo um diagrama dos sinais… obtemos
, se
ou
e
, se
ou
. Assim,
i.
muda de sinal negativo para positivo em
é valor mínimo local de
.
ii.
muda de sinal positivo para negativo em
é valor máximo local de
.
iii.
muda de sinal negativo para positivo em
é valor mínimo local de
.
Usando o teste da
derivada:
, então
são os pontos críticos e
. Assim,
i.
, então
é valor mínimo local de
.
ii.
, então
é valor máximo local de
.
iii.
, então
é valor mínimo local de
.
(b) Determine os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Concavidade: Calculando
, obtemos
. Resolvendo
0 , temos
ou
. Para analisar o sinal de
basta estudar o sinal da parábola
onde obtemos:
A.
se
ou
(concavidade para cima).
B.
se
(concavidade para baixo).
Pontos de inflexão: Os pontos de inflexão decorrem da mudança de concavidade, dos items acima, veja que
I.
muda de concavidade (cima para baixo) em
.
II.
muda de concavidade (baixo para cima) em
.
Portanto, os pontos de inflexão são
e
(a) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
i.
ii.
iii.
i.
ii.
iii.
(b) Determine os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A.
B.
I.
II.
Passo 1
Estamos estudando a função
e queremos (a) os extremos locais e (b) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso vamos usar as derivadas primeira e segunda de
, resolver
para achar pontos críticos e depois classificar com o teste da segunda derivada; em seguida, resolver
para concavidade e inflexão.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira e achemos os pontos críticos.
Resolvendo
vem
Passo 3
Classificação dos extremos pelo teste da segunda derivada. Primeiro obtenha
Agora avalie em cada ponto crítico:
Como
e
, em
e
temos mínimos locais; como
, em
temos máximo local.
Passo 4
Calcule os valores de
nos pontos críticos para obter os extremos:
Passo 5
Determine agora os intervalos de concavidade. Resolve-se
Como
é uma parábola com coeficiente positivo, ela é positiva fora das raízes e negativa entre elas. Portanto
em
(côncava para cima) e
em
(côncava para baixo).
Passo 6
Os pontos de inflexão são onde
muda de sinal, ou seja
. Falta o valor de
nesses pontos:
Resposta
a) Máximos e mínimos locais:
máximo local em com
,
mínimos locais em e
com
.
máximo local em
mínimos locais em
b) Concavidade:
côncava para cima em ,
côncava para baixo em .
côncava para cima em
côncava para baixo em
Pontos de inflexão em
e
.