Questão. ( ) Considere a função dada por
(Adaptado) Ex. 11 da lista de exercícios da seção 4.3
(a) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .

Usando o teste da derivada:

, então são os pontos críticos. A análise do sinal de segue do sinal do produto dos sinais dos fatores e . Fazendo um diagrama dos sinais… obtemos , se ou e , se ou . Assim,
i. muda de sinal negativo para positivo em é valor mínimo local de .
ii. muda de sinal positivo para negativo em é valor máximo local de .
iii. muda de sinal negativo para positivo em é valor mínimo local de .

Usando o teste da derivada:

, então são os pontos críticos e . Assim,
i. , então é valor mínimo local de .
ii. , então é valor máximo local de .
iii. , então é valor mínimo local de .
(b) Determine os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Concavidade: Calculando , obtemos . Resolvendo 0 , temos ou . Para analisar o sinal de basta estudar o sinal da parábola onde obtemos:
A. se ou (concavidade para cima).
B. se (concavidade para baixo).
Pontos de inflexão: Os pontos de inflexão decorrem da mudança de concavidade, dos items acima, veja que
I. muda de concavidade (cima para baixo) em .
II. muda de concavidade (baixo para cima) em .
Portanto, os pontos de inflexão são e

Passo 1

Estamos estudando a função
f(x)=x^4-2x^2+3
e queremos (a) os extremos locais e (b) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso vamos usar as derivadas primeira e segunda de f, resolver f'(x)=0 para achar pontos críticos e depois classificar com o teste da segunda derivada; em seguida, resolver f''(x)=0 para concavidade e inflexão.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira e achemos os pontos críticos.
f'(x)=ddxl(x^4-2x^2+3r) =4x^3-4x =4x,(x^2-1) =4x,(x-1),(x+1)
Resolvendo f'(x)=0 vem
4x,(x-1),(x+1)=0 Longrightarrow x=-1,;0,;1

Passo 3

Classificação dos extremos pelo teste da segunda derivada. Primeiro obtenha
f''(x)=ddxl(4x^3-4xr) =12x^2-4
Agora avalie em cada ponto crítico:
f''(-1)=12cdot(-1)^2-4=12-4=8>0, f''(0)=12cdot0^2-4=-4<0, f''(1)=12cdot1^2-4=8>0
Como f''(-1)>0 e f''(1)>0, em x=-1 e x=1 temos mínimos locais; como f''(0)<0, em x=0 temos máximo local.

Passo 4

Calcule os valores de f nos pontos críticos para obter os extremos:
f(-1)=(-1)^4-2(-1)^2+3 =1-2+3=2, f(0)=0^4-2cdot0^2+3=3, f(1)=1^4-2cdot1^2+3=2

Passo 5

Determine agora os intervalos de concavidade. Resolve-se
f''(x)=12x^2-4=0 Longrightarrow x^2=tfrac13 Longrightarrow x=pm1raiz3
Como f''(x) é uma parábola com coeficiente positivo, ela é positiva fora das raízes e negativa entre elas. Portanto
,f''(x)>0 em ,(-infty,-tfrac1raiz3)cup(tfrac1raiz3,infty) (côncava para cima) e
,f''(x)<0 em (-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3) (côncava para baixo).

Passo 6

Os pontos de inflexão são onde f'' muda de sinal, ou seja x=pmtfrac1raiz3. Falta o valor de f nesses pontos:
f!l(pmtfrac1raiz3r) =l(tfrac1raiz3r)^4 -2l(tfrac1raiz3r)^2 +3 =tfrac19-2cdottfrac13+3 =tfrac1-6+279 =tfrac229

Resposta

a) Máximos e mínimos locais:
máximo local em x=0 com f(0)=3,
mínimos locais em x=-1 e x=1 com f(-1)=f(1)=2.
b) Concavidade:
côncava para cima em (-infty,-tfrac1raiz3)cup(tfrac1raiz3,infty),
côncava para baixo em (-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3).
Pontos de inflexão em
l(-tfrac1raiz3,tfrac229r) e l(tfrac1raiz3,tfrac229r).

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