[2,0] Questão 4: A temperatura em um ponto é , medida em graus Celsius. Uma pessoa caminha de modo que sua posição após minutos é dada por , onde e são medidos em metros. Sabendo que a função da temperatura satisfaz e , determine quão rápido a temperatura aumenta no caminho da pessoa depois de três minutos?
Passo 1
O enunciado diz que a temperatura num ponto é dada por e que uma pessoa caminha de tal forma que
Queremos saber a taxa de variação de ao longo dessa trajetória no instante . O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, encontramos a posição da pessoa em :
Note que esse é exatamente o ponto onde conhecemos e .
Passo 3
Calculamos as derivadas das componentes da posição:
Em isso dá
Passo 4
Pela regra da cadeia, a taxa de variação de ao longo da curva é
No instante , substituindo , , e , vem
Resposta
A temperatura aumenta a 2 graus Celsius por minuto no instante de três minutos.