[2,0] Questão 4: A temperatura em um ponto (x, y) é T(x, y), medida em graus Celsius. Uma pessoa caminha de modo que sua posição após t minutos é dada por x(t)=raiz1+t, y(t)=2+13 t, onde x e y são medidos em metros. Sabendo que a função da temperatura satisfaz partial Tpartial x(2,3)=4 e partial Tpartial y(2,3)=3, determine quão rápido a temperatura aumenta no caminho da pessoa depois de três minutos?

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura num ponto (x,y) é dada por T(x,y) e que uma pessoa caminha de tal forma que
x(t)=raiz1+t, y(t)=2+13t
Queremos saber a taxa de variação de T ao longo dessa trajetória no instante t=3. O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, encontramos a posição da pessoa em t=3:
x(3)=raiz1+3=raiz4=2, y(3)=2+13cdot3=2+1=3
Note que esse é exatamente o ponto (2,3) onde conhecemos partial Tpartial x e partial Tpartial y.

Passo 3

Calculamos as derivadas das componentes da posição:
x'(t)=ddtraiz1+t=12raiz1+t, y'(t)=ddtl(2+tfrac13tr)=13
Em t=3 isso dá
x'(3)=12raiz4=14, y'(3)=13

Passo 4

Pela regra da cadeia, a taxa de variação de T ao longo da curva é
ddtTl(x(t),y(t)r) =partial Tpartial x,x'(t)+partial Tpartial y,y'(t)
No instante t=3, substituindo partial Tpartial x(2,3)=4, partial Tpartial y(2,3)=3, x'(3)=tfrac14 e y'(3)=tfrac13, vem
dTdt|t=3 =4cdot14+3cdot13 =1+1 =2

Resposta

A temperatura aumenta a 2 graus Celsius por minuto no instante de três minutos.

Exercícios relacionados