[2,0] Questão 3: Suponha que uma função diferenciável
tenha, no ponto
, derivada direcional igual a 1 na direção do vetor
e igual a -7 na direção do vetor
. Calcule
(vetor gradiente de
no ponto
).
Passo 1
O enunciado diz que
é diferenciável em
e que suas derivadas direcionais são dadas em duas direções. O conteúdo aqui é usar a definição de derivada direcional para relacionar essas informações ao gradiente
.
Passo 2
A derivada direcional de
no ponto
na direção de um vetor unitário
é
Passo 3
Primeiro transformamos os vetores dados em vetores unitários. Para
temos
Para
temos
Passo 4
Seja
. Pelas informações:
- Na direção de
a derivada direcional vale , ou seja,
- Na direção de
a derivada direcional vale , ou seja,
Passo 5
Multiplicando cada equação por
Somando (primeira) elimina
, mas aqui basta resolver diretamente:
Da primeira,
. Substituindo na segunda:
Então
, logo
.