[2,0] Questão 3: Suponha que uma função diferenciável f(x, y) tenha, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 1 na direção do vetor u=(3,4) e igual a -7 na direção do vetor v=(4,-3). Calcule nabla f(1,1) (vetor gradiente de f no ponto (1,1) ).

Passo 1

O enunciado diz que f é diferenciável em (1,1) e que suas derivadas direcionais são dadas em duas direções. O conteúdo aqui é usar a definição de derivada direcional para relacionar essas informações ao gradiente nabla f(1,1).

Passo 2

A derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção de um vetor unitário hat w é
Dhat wf(1,1)=nabla f(1,1)cdot hat w

Passo 3

Primeiro transformamos os vetores dados em vetores unitários. Para vec u=(3,4) temos
|vec u|=raiz3^2+4^2=5, hat u=15(3,4)
Para vec v=(4,-3) temos
|vec v|=raiz4^2+(-3)^2=5, hat v=15(4,-3)

Passo 4

Seja nabla f(1,1)=(a,b). Pelas informações:
  1. Na direção de hat u a derivada direcional vale 1, ou seja,
nabla f(1,1)cdot hat u = (a,b)cdot 15(3,4) = 3a+4b5 = 1
  1. Na direção de hat v a derivada direcional vale -7, ou seja,
nabla f(1,1)cdot hat v = (a,b)cdot 15(4,-3) = 4a-3b5 = -7

Passo 5

Multiplicando cada equação por
Somando (primeira) elimina , mas aqui basta resolver diretamente:
Da primeira, . Substituindo na segunda:
Então , logo .

Resposta

nabla f(1,1) = (-5,,5)

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