Duas lâmpadas ruins são misturadas por acaso com quatro lâmpadas boas. Qual a probabilidade de, com o objetivo de encontrar as queimadas, as lâmpadas serem testadas sem reposição, até que as duas queimadas sejam encontradas apenas no quarto teste?

Passo 1

Olha só, temos 6 lâmpadas no total, sendo 2 defeituosas (queimadas) e 4 boas. A gente testa uma por vez sem reposição até encontrar as duas queimadas. Queremos a probabilidade de que a segunda defeituosa só apareça no 4^circ teste. Para resolver, vamos usar distribuição hipergeométrica para os três primeiros testes e depois probabilidade condicional para o quarto.

Passo 2

Calculamos a probabilidade de sair exatamente uma defeituosa nos 3 primeiros testes. Pela fórmula hipergeométrica,
P1 = binom21,binom42binom63

Passo 3

Dado que saíram 3 lâmpadas e apenas 1 era defeituosa, restam 6-3=3 lâmpadas no pote, das quais há 2-1=1 defeituosa. Então a chance de o 4^circ teste ser essa defeituosa que falta é
P2 = 13

Passo 4

Multiplicando as duas fases,
P = P1 times P2 = binom21,binom42binom63times13 = 1220times13 = 1260 = 15

Resposta

15

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