[2,0] Um recipiente de vidro com volume de 4L contém dióxido de carbono (CO2) a 5atm e 25^{\circ} \mathrm{C}, Um tampåo de borracha com 40 mm de diâmetro e 10 mm de espessura é usado para conter o gás dentro do recipiente. Determinar a taxa mássica de perda de gás do recipiente através do tampäo de borracha, Considerar:
que o recipiente encontra-se no ar

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Volume do recipiente: V=4\\ \mathrm{L}.
    • Gás dentro do recipiente: dióxido de carbono (CO _2) à pressão interna p_{\text{in}}=5\\ \text{atm}.
    • Temperatura: T=25^\circ\mathrm{C}.
    • Tampão de borracha: diâmetro d=40\\ \mathrm{mm} e espessura (comprimento através do qual o gás precisa permear) l=10\\ \mathrm{mm}.
    • O recipiente está no ar (isto implica que a pressão total externa é 1\\ \text{atm} e a fração de CO _2 no ar é muito baixa — cerca de 400\\ \text{ppm}, ou seja pressão parcial externa aproximada de p_{\text{CO}_2,\text{out}}\approx 0{,}0004\\ \text{atm}).
  • O que é pedido:
    • Determinar a taxa mássica de perda de gás do recipiente através do tampão de borracha — isto é, determinar \dot m (em \mathrm{kg/s}, por exemplo).
Observação importante (sem resolver ainda): o enunciado não fornece a propriedade do material necessária para quantificar a permeação do CO _2 através da borracha — o coeficiente de permeabilidade do CO _2 no tipo específico de borracha do tampão. Sem esse coeficiente material não é possível obter um valor numérico final. Nos passos seguintes vou explicar o modelo físico, as fórmulas que se usam, como converter os dados dados em fatores numéricos e deixarei a expressão final pronta para receber o coeficiente de permeabilidade P. Também mostrarei um exemplo numérico ilustrativo usando um valor típico de literatura (marcado como exemplo).

Passo 2

Entendendo o mecanismo físico e a equação que usamos (aulas rápidas e claras).
  • Mecanismo físico: a borracha é um polímero sólido através do qual gases podem permear por difusão dissolvendo-se na face interna, difundindo pelo material e dessolvendo-se na face externa. Em regime estacionário de permeação, a lei usada é a lei da permeabilidade:
    • O fluxo molar por unidade de área (fluxo molar superficial) é dado por
    J = \frac{P}{l}\,\bigl(p_{\text{in}}-p_{\text{out}}\bigr),
    onde:
    • J é o fluxo molar por área (unidade: \mathrm{mol/(m^2\cdot s)});
    • P é o coeficiente de permeabilidade do gás no polímero (unidade SI: \mathrm{mol\cdot m/(m^2\cdot s\cdot Pa)} ou frequentemente dado em unidades Barrer — que podem ser convertidas para SI);
    • l é a espessura do polímero (m);
    • p_{\text{in}} e p_{\text{out}} são as pressões parciais do gás nas faces interna e externa (Pa).
  • Para obter taxa mássica \dot m (kg/s) a partir de J:
    \dot m = J\cdot A \cdot M,
    onde:
    • A é a área do tampão pela qual ocorre a permeação (m^2);
    • M é a massa molar do CO _2 (em \mathrm{kg/mol}; para CO _2: M=44{,}01\\ \mathrm{g/mol}=0{,}04401\\ \mathrm{kg/mol}).
  • Juntando as fórmulas:
    \dot m = \frac{P}{l}\,\bigl(p_{\text{in}}-p_{\text{out}}\bigr)\,A\,M.
    Esta é a fórmula central: fornece a taxa mássica se soubermos P.
Explicação de cada termo em linguagem simples:
  • P: diz o quanto o gás “consegue” atravessar 1 m de polímero por diferença unitária de pressão — é uma propriedade do par gás/material.
  • l: quanto mais espesso o tampão, menos gás passa (inversamente proporcional).
  • \Delta p=p_{\text{in}}-p_{\text{out}}: o impulso que empurra o gás através do polímero.
  • A: área real pela qual ocorre a permeação.
  • M: converte fluxo molar em massa.

Passo 3

Converter e calcular todos os fatores geométricos e de pressão que temos, deixando a fórmula pronta para inserir P.
  • Área circular do tampão (área projetada): d=40\\ \mathrm{mm}=0{,}04\\ \mathrm{m},\qquad r=\frac{d}{2}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
A=\pi r^{2}=\pi (0{,}02)^{2}=\pi\cdot 4{,}0\times 10^{-4}=\;1{,}25663706\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Espessura em metros:
    l=10\\ \mathrm{mm}=0{,}010\\ \mathrm{m}.
  • Pressões: convém trabalhar em pascal (Pa).
    1\\ \text{atm}=101\,325\\ \mathrm{Pa}.
p_{\text{in}}=5\\ \text{atm}=5\cdot 101\,325 = 506\,625\\ \mathrm{Pa}.
Pressão parcial externa de CO _2 no ar (usar valor aproximado 400\\ \text{ppm}=4{,}0\times 10^{-4} em fração molar):
p_{\text{out}}\approx 0{,}0004\\ \text{atm}=0{,}0004\cdot 101\,325 = 40{,}53\\ \mathrm{Pa}.
Diferença de pressão que dirige a permeação:
\Delta p = p_{\text{in}}-p_{\text{out}} = 506\,625 - 40{,}53 = 506\,584{,}47\\ \mathrm{Pa}\approx 5{,}06584\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Massa molar do CO _2: M=44{,}01\\ \mathrm{g/mol}=0{,}04401\\ \mathrm{kg/mol}.

Passo 4

Montar a expressão numérica parcial (fator multiplicativo) para que fique fácil inserir P.
A fórmula geral já dada é
\dot m = \frac{P}{l}\,\Delta p \, A \, M.
Substituindo A, \Delta p, l e M pelos valores numéricos obtidos:
\dot m = P\cdot\frac{A\,\Delta p\,M}{l}.
Calculemos o fator
K=\frac{A\,\Delta p\,M}{l}.
Substituindo numericamente:
A=1{,}25663706\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}},
\Delta p=5{,}06584\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa},
M=0{,}04401\\ \mathrm{kg/mol},
l=0{,}010\\ \mathrm{m}.
Calculando passo a passo (mostrando as contas para fazer na prova sem calculadora: multiplicações organizadas):
A\cdot\Delta p \approx 1{,}25663706\times 10^{-3}\times 5{,}06584\times 10^{5} = (1{,}25663706\times 5{,}06584)\times 10^{2}.
1{,}25663706\times 5{,}06584 \approx 6{,}3661977\quad\Rightarrow\quad A\Delta p\approx 6{,}3661977\times 10^{2}=636{,}61977.
(A\Delta p)\cdot M \approx 636{,}61977\times 0{,}04401 \approx 28{,}011.
K=\frac{(A\Delta p)M}{l}\approx \frac{28{,}011}{0{,}010}=2\,801{,}1.
Logo a expressão final pode ser escrita como
\dot m = 2\,801{,}1\;P,
onde P deve estar em unidades SI \mathrm{mol\cdot m/(m^{2}\cdot s\cdot Pa)} para que \dot m saia em \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Interpretação, uso prático e exemplo numérico ilustrativo.
  • Interpretação: a taxa mássica é diretamente proporcional ao coeficiente de permeabilidade P do CO _2 no tipo de borracha do tampão. Sem o valor de P (que depende do tipo de borracha e da temperatura) não se pode dar um número final. A expressão acima dá a dependência exata e inclui todas as conversões e fatores geométricos.
  • Exemplo ilustrativo (apenas para dar uma ordem de grandeza): suponha que, por hipótese, o coeficiente de permeabilidade efetivo do CO _2 naquela borracha valha P=1{,}0\times 10^{-11}\\ \mathrm{mol\cdot m/(m^{2}\cdot s\cdot Pa)} (isto é apenas um valor de exemplo, encontrado em certos polímeros como referência — o valor real para a borracha do tampão pode ser bem diferente). Então:
\dot m = 2\,801{,}1\times 1{,}0\times 10^{-11}=2{,}8011\times 10^{-8}\\ \mathrm{kg/s}.
Isto corresponde a cerca de 2{,}8\times 10^{-5}\\ \mathrm{g/s} ou \approx 0{,}10\\ \mathrm{g/h}. Repare que isso é apenas ilustrativo: com P maior a perda cresce proporcionalmente; com P menor, a perda é muito menor.
  • O que fazer se precisa do número real:
    1. Consultar a ficha técnica da borracha do tampão (ou literatura) para o coeficiente de permeabilidade do CO _2 à 25^\circ\mathrm{C} (ou pedir ao professor).
    2. Inserir esse P na fórmula \dot m=2\,801{,}1\,P e obter \dot m em \mathrm{kg/s}.
    3. Se P estiver em Barrer, converter para unidades SI antes de usar (1 Barrer = 3{,}35\times 10^{-16}\\ \mathrm{mol\cdot m/(m^{2}\cdot s\cdot Pa)}).
Boa notícia: agora que montamos tudo passo a passo, assim que você me der (ou achar) o valor de P eu calculo rapidinho a taxa mássica numérica. Força — já está quase lá!

Resposta

\dot m = 2\,801{,}1\;P (com \dot m em \mathrm{kg/s} e P em \mathrm{mol\cdot m/(m^{2}\cdot s\cdot Pa)}).

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