Determinado ensaio de compactação forneceu os seguintes pontos :
\mathrm{h}(\%) - 9,80 12,60 15,60 18,10 22,40
\gamma \mathrm{~s}(\mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3) - 1,59 1,88 1,85 1,75 1,56
Calcular a umidade ótima e o γs max .
Para uma amostra deste material, quando compactada no campo, obtivemos, através do frasco de areia, que para um volume de 997,0 \mathrm{~cm} 3 a amostra retirada pesou 2.045,0 \mathrm{~g}. Para determinação da umidade temos :
solo + tara + água : 42,735g
solo + tara : 38,670g
tara : 11,135g
Qual o grau de compactação e o desvio de umidade desta amostra ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
Dados do ensaio de compactação (tabela):
  • Umidades h em \%: 9,80, 12,60, 15,60, 18,10, 22,40.
  • Densidades aparentes fornecidas ( \gamma, em \mathrm{g/cm}^3; no enunciado foi usado o símbolo \gamma_s): 1,59, 1,88, 1,85, 1,75, 1,56.
Pede-se:
  • Calcular a umidade ótima e o \gamma_{\text{max}} (o valor máximo de densidade do ensaio).
  • Para uma amostra em campo: volume do buraco \,997,0\\ \mathrm{cm}^3 e massa da amostra retirada 2.045,0\\ \mathrm{g}.
  • Pesagens para determinação de umidade:
    • \text{solo + tara + água} = 42,735\\ \mathrm{g}á,
    • \text{solo + tara} = 38,670\\ \mathrm{g},
    • \text{tara} = 11,135\\ \mathrm{g}.
Pede-se também:
  • Determinar o grau de compactação (percentual) da amostra de campo.
  • Determinar o desvio de umidade dessa amostra em relação à umidade ótima.

Passo 2

Entendendo as fórmulas que vamos usar (mini-aula rápida e prática):
  1. Conversão densidade úmida \to densidade seca:
\gamma_d=\frac{\gamma}{1+w}
onde
  • \gamma é a densidade úmida (massa total por volume, em \mathrm{g/cm}^3);
  • w é a umidade em fração (por exemplo 12{,}6\% vira w=0{,}126);
  • \gamma_d é a densidade seca correspondente (em \mathrm{g/cm}^3).
Explicação curta: a densidade úmida inclui a água. Para retirar a parte da água (obter a densidade seca) divide-se pela factor 1+w.
  1. Umidade gravimétrica a partir das pesagens:
    Seja m_t a tara (massa do recipiente), m_{um} a massa do recipiente + solo úmido e m_{sec} a massa do recipiente + solo seco. Então
m_{\text{úmido}}=m_{um}-m_t,\qquad m_{\text{seco}}=m_{sec}-m_t,ú
e a massa de água é m_{\text{água}}=m_{\text{úmido}}-m_{\text{seco}}áú. A umidade em fração é
w=\frac{m_{\text{água}}}{m_{\text{seco}}}.á
  1. Densidade aparente (mass/volume) do ensaio de campo:
\gamma_{\text{campo}}=\frac{m_{\text{amostra}}}{V}
em que m_{\text{amostra}} é a massa retirada (aqui 2.045{,}0\\ \mathrm{g}) e V o volume do buraco (aqui 997{,}0\\ \mathrm{cm}^3). Essa é a densidade úmida de campo.
  1. Grau de compactação (percentual):
\text{Grau de compactação}=\frac{\gamma_{d,\text{campo}}}{\gamma_{d,\max}}\times 100\%.çã
  1. Desvio de umidade:
\Delta w = w_{\text{campo}} - w_{\text{ótima}}ó
(expresso em pontos percentuais, por exemplo 2{,}17\% significa 2{,}17 pontos percentuais acima do ótimo).

Passo 3

Calcular as densidades secas de laboratório a partir dos pares (h,\gamma) da tabela para encontrar a densidade seca máxima e a umidade ótima.
Vou converter cada umidade h para fração w=h/100 e aplicar \gamma_d=\dfrac{\gamma}{1+w}.
  1. h=9{,}80\%\Rightarrow w=0{,}098.
\gamma_d=\frac{1{,}59}{1+0{,}098}=\frac{1{,}59}{1{,}098}=1{,}449\\ \mathrm{g/cm}^3.
  1. h=12{,}60\%\Rightarrow w=0{,}126.
\gamma_d=\frac{1{,}88}{1+0{,}126}=\frac{1{,}88}{1{,}126}=1{,}670\\ \mathrm{g/cm}^3.
  1. h=15{,}60\%\Rightarrow w=0{,}156.
\gamma_d=\frac{1{,}85}{1{,}156}=1{,}600\\ \mathrm{g/cm}^3.
  1. h=18{,}10\%\Rightarrow w=0{,}181.
\gamma_d=\frac{1{,}75}{1{,}181}=1{,}482\\ \mathrm{g/cm}^3.
  1. h=22{,}40\%\Rightarrow w=0{,}224.
\gamma_d=\frac{1{,}56}{1{,}224}=1{,}275\\ \mathrm{g/cm}^3.
Agora compare os \gamma_d: os valores são aproximadamente 1{,}449, 1{,}670, 1{,}600, 1{,}482, 1{,}275 \mathrm{g/cm}^3. O máximo é
\gamma_{d,\max}=1{,}670\\ \mathrm{g/cm}^3
ocorre em h=12{,}60\%. Portanto a umidade ótima é 12{,}60\%.
Observação prática: o enunciado também dá a densidade úmida máxima 1{,}88\\ \mathrm{g/cm}^3 (no pico), mas para o grau de compactação precisamos da densidade seca máxima \gamma_{d,\max} que acabamos de calcular.

Passo 4

Determinar a umidade da amostra de campo a partir das pesagens.
Dados:
m_t=11{,}135\\ \mathrm{g},\qquad m_{um}=42{,}735\\ \mathrm{g},\qquad m_{sec}=38{,}670\\ \mathrm{g}.
Calcular massas:
m_{\text{úmido}}=m_{um}-m_t=42{,}735-11{,}135=31{,}600\\ \mathrm{g},ú
m_{\text{seco}}=m_{sec}-m_t=38{,}670-11{,}135=27{,}535\\ \mathrm{g}.
Massa de água:
m_{\text{água}}=31{,}600-27{,}535=4{,}065\\ \mathrm{g}.á
Umidade em fração:
w_{\text{campo}}=\frac{m_{\text{água}}}{m_{\text{seco}}}=\frac{4{,}065}{27{,}535}=0{,}14769\approx 0{,}1477.á
Em porcentagem:
w_{\text{campo}}=14{,}77\%.

Passo 5

Calcular a densidade úmida de campo pelo frasco de areia e depois a densidade seca de campo.
Dado: massa da amostra retirada m_{\text{amostra}}=2{,}045{,}0\\ \mathrm{g} e volume do buraco V=997{,}0\\ \mathrm{cm}^3.
Densidade úmida de campo:
\gamma_{\text{campo}}=\frac{m_{\text{amostra}}}{V}=\frac{2{,}045{,}0}{997{,}0}=2{,}05115\\ \mathrm{g/cm}^3.
Converter para densidade seca usando w_{\text{campo}}=0{,}14769:
\gamma_{d,\text{campo}}=\frac{\gamma_{\text{campo}}}{1+w_{\text{campo}}} =\frac{2{,}05115}{1{,}14769}=1{,}7869\\ \mathrm{g/cm}^3.

Passo 6

Calcular o grau de compactação e o desvio de umidade.
Grau de compactação:
\text{Grau}=\frac{\gamma_{d,\text{campo}}}{\gamma_{d,\max}}\times 100\% =\frac{1{,}7869}{1{,}66997}\times 100\%\approx 106{,}98\%\approx 107{,}0\%.
Desvio de umidade (em pontos percentuais):
\Delta w = w_{\text{campo}} - w_{\text{ótima}} = 14{,}77\% - 12{,}60\% = 2{,}17\\ \text{p.p.}ó
(positivo: a amostra está mais úmida que a ótima em 2{,}17 pontos percentuais).

Resposta

Umidade ótima =12{,}60\%.
Densidade máxima (úmida) \gamma_{\max}=1{,}88\\ \mathrm{g/cm}^3.
Densidade seca máxima \gamma_{d,\max}=1{,}670\\ \mathrm{g/cm}^3.
Grau de compactação da amostra =107{,}0\%.
Desvio de umidade =+2{,}17\% (a amostra está 2{,}17 pontos percentuais mais úmida que o ótimo).

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