(4 [2,5] Numa extensa placa de aço (k \equiv 43 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK})), com 12 cm de espessura, é gerado calor uniformemente a uma taxa de 200 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{3}, Um dos lados da placa é mantido na temperatura de 5^{\circ} \mathrm{C} e o outro lado é exposto ao ar em movimento ( h=25 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{3} \mathrm{~K}\right) ) na temperatura de 35^{\circ} \mathrm{C}, Considerando conduçäe de calor unidimensional determinar a distríbuiçâo de temperatura na placa de aço.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a distribuição de temperatura ao longo da espessura da placa (condução 1D):
Condutividade térmica: k=43\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
Espessura da placa: L=12\\ \mathrm{cm}=0,12\\ \mathrm{m}.
Geração volumétrica de calor (uniforme): q'''=200\\ \mathrm{kW/m^{3}}=200{,}000\\ \mathrm{W/m^{3}}.
Um lado (esquerdo) mantido a temperatura fixa: T(0)=5^\circ\mathrm{C}.
Outro lado (direito, x=L) exposto a convecção com coeficiente h=25\\ \mathrm{W/(m^{2}K)} (observação: unidade correta é \mathrm{W/(m^{2}K)}) e fluido a T_\infty=35^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: encontrar a função temperatura T(x) para 0\le x\le L.
Explicação: -k\frac{dT}{dx} é o fluxo de calor por unidade de área segundo a lei de Fourier; a divergência desse fluxo mais a geração q''' deve ser zero no regime estacionário.
Como k é constante, a equação simplifica para
k\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+q'''=0.
Integramos duas vezes para obter a solução geral. Primeiro dividimos por k e integramos:
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=-\frac{q'''}{k}.
Integrando uma vez:
\frac{dT}{dx}=-\frac{q'''}{k}x+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração (tem dimensão de \mathrm{K/m}). Integramos novamente:
T(x)=-\frac{q'''}{2k}x^{2}+C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante (temperatura em x=0 se aplicável).
Passo 3
Aplicar a condição de contorno em x=0.
Pelo enunciado, T(0)=5^\circ\mathrm{C}. Substituindo:
A L = 200{,}000\times 0{,}12 = 24{,}000\\ (\mathrm{W/m^{2}}).
\frac{A}{2k}L^{2}=\frac{200{,}000}{2\times 43}\times (0{,}12)^{2} =\frac{200{,}000}{86}\times 0{,}0144 =33{,}4883720930\\ ^\circ\mathrm{C}\quad(\text{este termo tem dimensão de temperatura}).ã
k+hL=43+25\times 0{,}12=43+3=46\\ \mathrm{W/(m\,K)}\\ (\text{unidade formal do denominador}).
Numerador da fórmula de C_{1}:
A L + h\Bigl(\frac{A}{2k}L^{2}-C_{2}+T_{\infty}\Bigr) =24{,}000 +25\bigl(33{,}4883720930-5+35\bigr) =24{,}000 +25\times 63{,}4883720930 =24{,}000 +1{,}587{,}209302325 =25{,}587{,}209302325.
T(L)=T(0{,}12)= -33{,}48837209 +556{,}2436805\times 0{,}12 +5 =38{,}2608696^\circ\mathrm{C} (maior que T_\infty=35^\circ\mathrm{C}, coerente pela geração interna).
Ponto de temperatura máxima ocorre em x_{\max}=\dfrac{kC_{1}}{A}\approx \dfrac{43\times 556{,}2436805}{200{,}000}\approx 0{,}1196\\ \mathrm{m} (próximo do lado convectivo) e o máximo é T_{\max}=C_{2}+\dfrac{kC_{1}^{2}}{2A}\approx 38{,}2613^\circ\mathrm{C}.