(4 [2,5] Numa extensa placa de aço (k \equiv 43 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK})), com 12 cm de espessura, é gerado calor uniformemente a uma taxa de 200 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{3}, Um dos lados da placa é mantido na temperatura de 5^{\circ} \mathrm{C} e o outro lado é exposto ao ar em movimento ( h=25 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{3} \mathrm{~K}\right) ) na temperatura de 35^{\circ} \mathrm{C}, Considerando conduçäe de calor unidimensional determinar a distríbuiçâo de temperatura na placa de aço.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a distribuição de temperatura ao longo da espessura da placa (condução 1D):
  • Condutividade térmica: k=43\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
  • Espessura da placa: L=12\\ \mathrm{cm}=0,12\\ \mathrm{m}.
  • Geração volumétrica de calor (uniforme): q'''=200\\ \mathrm{kW/m^{3}}=200{,}000\\ \mathrm{W/m^{3}}.
  • Um lado (esquerdo) mantido a temperatura fixa: T(0)=5^\circ\mathrm{C}.
  • Outro lado (direito, x=L) exposto a convecção com coeficiente h=25\\ \mathrm{W/(m^{2}K)} (observação: unidade correta é \mathrm{W/(m^{2}K)}) e fluido a T_\infty=35^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: encontrar a função temperatura T(x) para 0\le x\le L.

Passo 2

Equação diferencial governante (estado estacionário, 1D, geração volumétrica constante).
  • A equação diferencial da condução estacionária unidimensional com geração volumétrica uniforme é
\frac{d}{dx}\!\left(-k\frac{dT}{dx}\right)+q'''=0.
Explicação: -k\frac{dT}{dx} é o fluxo de calor por unidade de área segundo a lei de Fourier; a divergência desse fluxo mais a geração q''' deve ser zero no regime estacionário.
  • Como k é constante, a equação simplifica para
k\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+q'''=0.
  • Integramos duas vezes para obter a solução geral. Primeiro dividimos por k e integramos:
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=-\frac{q'''}{k}.
Integrando uma vez:
\frac{dT}{dx}=-\frac{q'''}{k}x+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração (tem dimensão de \mathrm{K/m}). Integramos novamente:
T(x)=-\frac{q'''}{2k}x^{2}+C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante (temperatura em x=0 se aplicável).

Passo 3

Aplicar a condição de contorno em x=0.
  • Pelo enunciado, T(0)=5^\circ\mathrm{C}. Substituindo:
T(0)=-\frac{q'''}{2k}\cdot 0^{2}+C_{1}\cdot 0+C_{2}=C_{2}=5^\circ\mathrm{C}.
Portanto
C_{2}=5.

Passo 4

Aplicar a condição de contorno convectiva em x=L e obter C_{1}.
  • No bordo x=L a condição de troca convectiva é a igualdade entre o fluxo condutivo para fora da placa e a convecção:
-q_{x}(L)=-\bigl(-k\frac{dT}{dx}\bigr)_{x=L}=h\bigl(T(L)-T_{\infty}\bigr).
Aqui usei q_{x}=-k\,dT/dx (fluxo positivo na direção +x). Simplificando:
-k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L}=h\bigl(T(L)-T_{\infty}\bigr).
  • Substituir a forma geral e C_{2}. Primeiro a derivada:
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L}=-\frac{q'''}{k}L+C_{1}.
E T(L) é
T(L)=-\frac{q'''}{2k}L^{2}+C_{1}L+C_{2}.
  • Substituir na cond. convectiva:
-k\Bigl(-\frac{q'''}{k}L+C_{1}\Bigr)=h\Bigl(-\frac{q'''}{2k}L^{2}+C_{1}L+C_{2}-T_{\infty}\Bigr).
Simplificar o lado esquerdo:
A L - kC_{1}=h\Bigl(-\frac{A}{2k}L^{2}+C_{1}L+C_{2}-T_{\infty}\Bigr),
onde para abreviar defino A\equiv q'''.
  • Isolar C_{1}. Reorganizando:
-kC_{1}-hC_{1}L = h\Bigl(-\frac{A}{2k}L^{2}+C_{2}-T_{\infty}\Bigr)-A L.
Logo
C_{1}=\frac{A L + h\Bigl(\dfrac{A}{2k}L^{2}-C_{2}+T_{\infty}\Bigr)}{k+hL}.
Esta expressão dá C_{1} em função dos dados. Agora substituímos os valores numéricos.

Passo 5

Substituir valores numéricos e calcular C_{1} e a expressão final T(x).
  • Valores (todos em SI):
q'''=A=200{,}000\\ \mathrm{W/m^{3}},\qquad k=43\\ \mathrm{W/(m\,K)},\qquad L=0{,}12\\ \mathrm{m},
h=25\\ \mathrm{W/(m^{2}K)},\qquad C_{2}=5\\ ^\circ\mathrm{C},\qquad T_{\infty}=35\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Calcule termos intermediários:
A L = 200{,}000\times 0{,}12 = 24{,}000\\ (\mathrm{W/m^{2}}).
\frac{A}{2k}L^{2}=\frac{200{,}000}{2\times 43}\times (0{,}12)^{2} =\frac{200{,}000}{86}\times 0{,}0144 =33{,}4883720930\\ ^\circ\mathrm{C}\quad(\text{este termo tem dimensão de temperatura}).ã
k+hL=43+25\times 0{,}12=43+3=46\\ \mathrm{W/(m\,K)}\\ (\text{unidade formal do denominador}).
  • Numerador da fórmula de C_{1}:
A L + h\Bigl(\frac{A}{2k}L^{2}-C_{2}+T_{\infty}\Bigr) =24{,}000 +25\bigl(33{,}4883720930-5+35\bigr) =24{,}000 +25\times 63{,}4883720930 =24{,}000 +1{,}587{,}209302325 =25{,}587{,}209302325.
  • Portanto
C_{1}=\frac{25{,}587{,}209302325}{46}=556{,}2436805\\ \mathrm{K/m}\\ (\approx 556{,}244\\ \mathrm{K/m}).
  • Assim a distribuição de temperatura é
T(x)=-\frac{q'''}{2k}\,x^{2}+C_{1}\,x+C_{2}
com os valores já encontrados. Substituindo numericamente
\frac{q'''}{2k}=\frac{200{,}000}{2\times 43}=2{,}325{,}581395\ldots,
portanto
T(x)=-2{,}325{,}581395\cdot 10^{3}\,x^{2}+556{,}2436805\,x+5\quad(\,x\\ \text{em m},\\ T\\ \text{em}^\circ\mathrm{C}\,).
  • Verificações rápidas:
    • T(0)=5^\circ\mathrm{C} (ok).
    • T(L)=T(0{,}12)= -33{,}48837209 +556{,}2436805\times 0{,}12 +5 =38{,}2608696^\circ\mathrm{C} (maior que T_\infty=35^\circ\mathrm{C}, coerente pela geração interna).
    • Ponto de temperatura máxima ocorre em x_{\max}=\dfrac{kC_{1}}{A}\approx \dfrac{43\times 556{,}2436805}{200{,}000}\approx 0{,}1196\\ \mathrm{m} (próximo do lado convectivo) e o máximo é T_{\max}=C_{2}+\dfrac{kC_{1}^{2}}{2A}\approx 38{,}2613^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T(x)=-\frac{q'''}{2k}\,x^{2}+C_{1}x+5 \qquad\text{com}\qquad C_{1}=556{,}2436805\\ \mathrm{K/m},
ou numericamente
T(x)=-2{,}325{,}581395\times 10^{3}\,x^{2}+556{,}2436805\,x+5\quad(0\le x\le 0{,}12\\ \mathrm{m}).

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