Mostre balanços de momento linear e angular para volume de controle (a partir dos respectivos balanços para sistemas). Mostre as expressões desses balanços quando o regime é permanente e as propriedades são constantes nas entradas e saídas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- Deduzir o balanço do momento linear para um volume de controle a partir do balanço para um sistema, e escrever a forma simplificada quando o regime é permanente e as propriedades nas seções de entrada/saída são constantes.
- Deduzir o balanço do momento angular (momento de quantidade de movimento) para um volume de controle a partir do balanço para um sistema, e escrever a forma simplificada quando o regime é permanente e as propriedades nas seções de entrada/saída são constantes.
Informações e notações que vamos usar (dados do enunciado implícitos):
-
é a massa volúmica (densidade), é o campo de velocidades. - O domínio de interesse é um volume de controle fixo ou móvel que chamamos de
. A superfície correspondente é com normal externa . - As forças externas sobre o sistema dividem-se em forças de corpo (por ex. gravidade
) e forças de superfície (tensão/pressão/viscosa representadas por , onde é o tensor de tensões). - Admitir-se-á, quando pedido, que nas entradas/saídas os perfis são uniformes, de modo que integras de fluxo se reduzem a valores do tipo
com .
Passo 2
Primeiro: escrevendo o balanço de momento linear para um sistema material (lei de Newton para o sistema):
onde
Explicar:
é a quantidade total de movimento (momento linear) do sistema; a derivada temporal dessa quantidade é igual à soma de todas as forças externas que agem no sistema.
Passo 3
Agora: precisamos passar do balanço para um sistema (massa material) ao balanço para um volume de controle. A ferramenta padrão é o Teorema do Transporte de Reynolds (RTT) para uma propriedade extensa vetorial
com propriedade por unidade de massa
. A forma vetorial do RTT é
Explicando cada termo:
-
é a propriedade por unidade de massa (aqui, para momento linear tomamos ). -
é a taxa de variação dentro do volume de controle. -
é o fluxo convectivo através da superfície de controle (positivo quando sai, se é externo).
Passo 4
Aplicando RTT ao caso do momento linear (usar
):
Mas pela lei do sistema
. As forças externas dividem-se em forças de corpo e forças de superfície. Logo, o balanço integral do momento linear para o volume de controle é
Explicando os termos:
- O termo da esquerda com derivada é a variação temporal da quantidade de movimento dentro do CV.
- O segundo termo da esquerda é a contribuição de transporte convectivo de momento através da superfície do CV.
- No lado direito,
é a força de corpo (gravidade) e são as forças de superfície (pressão + esforços viscosos). Pode-se escrever para separar pressão e tensões viscosas.
Passo 5
Agora vamos interpretar e simplificar para o caso de regime permanente (estado estacionário) e se as propriedades nas entradas/saídas forem constantes e uniformes.
Regime permanente significa que não há variação temporal das quantidades dentro do CV:
Assim, o balanço reduz-se a
Se escolhermos a superfície de controle de modo que as seções de entrada/saída sejam áreas planas onde
é aproximadamente uniforme (perfil constante), então cada integral de fluxo convectivo numa seção
dá
onde
é a vazão mássica pela seção
, e
é a velocidade vetorial média na seção
.
Somando sobre todas as seções abertas do CV (entradas e saídas),
Para explicitar o sinal de entradas/saídas: tomando
normal externo ao CV, em seções de saída
e em seções de entrada
. Em prática usualmente se escreve a contribuição convectiva como
Portanto, isolando as forças de superfície (por ex. reação em suportes, força sobre um corpo imerso, etc.), obtemos a forma muito usada:
quando o regime é permanente e as propriedades são constantes nas seções. Se a gravidade for desprezível, a expressão fica simplesmente
Comentário prático (exemplo simples): para um tubo com uma entrada e uma saída, ambas com a mesma massa mássica
, a força necessária para equilibrar a mudança de momento é aproximadamente
somada às forças de pressão e peso (se incluídas).
Passo 6
Resumo didático (como aplicar na prova para momento linear):
- Identifique CV e CS; marque normais externas.
- Escreva a forma integral geral:
- Para estado permanente zere o termo temporal.
- Se houver poucas seções com perfis uniformes, substitua integrais por somas com
. - Resolver com sinais consistentes (entradas negativas se
).
Passo 7
Agora fazemos o balanço do momento angular. Para um sistema material, a lei do momento angular (torque resultante = variação do momento angular) é
onde o momento angular do sistema em relação a uma origem é
Explicar:
é o vetor posição (a partir da origem escolhida),
é o momento angular por unidade de massa; a derivada temporal total é a soma dos momentos (torques) externos.
Passo 8
Aplicando o RTT ao caso vetorial
, obtemos a forma para o CV:
As contribuições aos momentos externos são:
Portanto a forma integral geral do balanço de momento angular para o CV é
Explicando: a integral de fluxo convectivo contém
multiplicada pela vazão mássica através da seção; o lado direito contém os momentos de forças de corpo e de forças de superfície.
Passo 9
Simplificação para regime permanente e seções de entrada/saída com perfis uniformes:
Em regime estacionário zera-se a derivada temporal:
Para seções discretas com velocidade uniforme em cada seção
,
onde
é o vetor posição médio do ponto da seção usado como referência (por exemplo o centro da seção).
Somando sobre seções:
Isolando os momentos das tensões de contato (por ex. momento líquido sobre um corpo imerso), e se desprezarmos gravidade, obtemos a forma prática:
Isto dá o torque (momento) resultante que as forças de superfície exercem sobre o corpo, em termos dos fluxos de massa e das posições e velocidades nas seções.
Passo 10
Dicas práticas de prova e exemplos rápidos:
- Para calcular forças em suportes de uma curva de tubulação: use o balanço de momento linear no CV que engloba o trecho curvo; calcule
nas seções; inclua termos de pressão que atuam nas extremidades se as seções cortarem regiões com pressão diferente; não esqueça a gravidade se houver diferença de alturas importantes. - Para calcular torque aplicado por um jato que incide num disco: use o balanço de momento angular com
na seção de saída do jato; resultado típico (soma sobre seções), cuidando do sistema de referência e do sinal.
Resposta
ou, isolando as forças de superfície sobre um corpo,
ou, desprezando gravidade e isolando o momento das tensões sobre o corpo,