Mostre balanços de momento linear e angular para volume de controle (a partir dos respectivos balanços para sistemas). Mostre as expressões desses balanços quando o regime é permanente e as propriedades são constantes nas entradas e saídas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Deduzir o balanço do momento linear para um volume de controle a partir do balanço para um sistema, e escrever a forma simplificada quando o regime é permanente e as propriedades nas seções de entrada/saída são constantes.
  • Deduzir o balanço do momento angular (momento de quantidade de movimento) para um volume de controle a partir do balanço para um sistema, e escrever a forma simplificada quando o regime é permanente e as propriedades nas seções de entrada/saída são constantes.
Informações e notações que vamos usar (dados do enunciado implícitos):
  • \rho é a massa volúmica (densidade), \mathbf{v}(\mathbf{x},t) é o campo de velocidades.
  • O domínio de interesse é um volume de controle fixo ou móvel que chamamos de \mathrm{CV}. A superfície correspondente é \mathrm{CS} com normal externa \mathbf{n}.
  • As forças externas sobre o sistema dividem-se em forças de corpo (por ex. gravidade \rho \mathbf{g}) e forças de superfície (tensão/pressão/viscosa representadas por \mathbf{T}\cdot\mathbf{n}, onde \mathbf{T} é o tensor de tensões).
  • Admitir-se-á, quando pedido, que nas entradas/saídas os perfis são uniformes, de modo que integras de fluxo se reduzem a valores do tipo \dot{m}\mathbf{v} com \dot{m}=\rho Q.

Passo 2

Primeiro: escrevendo o balanço de momento linear para um sistema material (lei de Newton para o sistema):
\frac{d}{dt}\mathbf{P}_{\text{sys}}=\sum \mathbf{F}_{\text{ext}},
onde
\mathbf{P}_{\text{sys}}=\int_{\text{massa}} \mathbf{v}\,dm.
Explicar: \mathbf{P}_{\text{sys}} é a quantidade total de movimento (momento linear) do sistema; a derivada temporal dessa quantidade é igual à soma de todas as forças externas que agem no sistema.

Passo 3

Agora: precisamos passar do balanço para um sistema (massa material) ao balanço para um volume de controle. A ferramenta padrão é o Teorema do Transporte de Reynolds (RTT) para uma propriedade extensa vetorial \mathbf{B} com propriedade por unidade de massa \mathbf{b}. A forma vetorial do RTT é
\frac{d}{dt}\int_{\text{massa}} \mathbf{b}\,dm = \frac{d}{dt}\int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{b}\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \rho \mathbf{b}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA.
Explicando cada termo:
  • \mathbf{b} é a propriedade por unidade de massa (aqui, para momento linear tomamos \mathbf{b}=\mathbf{v}).
  • \dfrac{d}{dt}\int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{b}\,dV é a taxa de variação dentro do volume de controle.
  • \int_{\mathrm{CS}} \rho \mathbf{b}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA é o fluxo convectivo através da superfície de controle (positivo quando sai, se \mathbf{n} é externo).

Passo 4

Aplicando RTT ao caso do momento linear (usar \mathbf{b}=\mathbf{v}):
\frac{d}{dt}\mathbf{P}_{\text{sys}} = \frac{d}{dt}\int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{v}\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \rho \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA.
Mas pela lei do sistema \dfrac{d}{dt}\mathbf{P}_{\text{sys}}=\sum \mathbf{F}_{\text{ext}}. As forças externas dividem-se em forças de corpo e forças de superfície. Logo, o balanço integral do momento linear para o volume de controle é
\boxed{ \dfrac{d}{dt}\int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{v}\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \rho \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA = \int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{g}\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \mathbf{T}\cdot\mathbf{n}\,dA. }
Explicando os termos:
  • O termo da esquerda com derivada é a variação temporal da quantidade de movimento dentro do CV.
  • O segundo termo da esquerda é a contribuição de transporte convectivo de momento através da superfície do CV.
  • No lado direito, \int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{g}\,dV é a força de corpo (gravidade) e \int_{\mathrm{CS}} \mathbf{T}\cdot\mathbf{n}\,dA são as forças de superfície (pressão + esforços viscosos). Pode-se escrever \mathbf{T}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} para separar pressão e tensões viscosas.

Passo 5

Agora vamos interpretar e simplificar para o caso de regime permanente (estado estacionário) e se as propriedades nas entradas/saídas forem constantes e uniformes.
Regime permanente significa que não há variação temporal das quantidades dentro do CV:
\frac{d}{dt}\int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{v}\,dV = \mathbf{0}.
Assim, o balanço reduz-se a
\int_{\mathrm{CS}} \rho \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA = \int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{g}\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \mathbf{T}\cdot\mathbf{n}\,dA.
Se escolhermos a superfície de controle de modo que as seções de entrada/saída sejam áreas planas onde \mathbf{v} é aproximadamente uniforme (perfil constante), então cada integral de fluxo convectivo numa seção k
\int_{S_k} \rho \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA = \dot{m}_k \mathbf{v}_k,
onde
\dot{m}_k=\rho Q_k=\rho \int_{S_k} (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA
é a vazão mássica pela seção k, e \mathbf{v}_k é a velocidade vetorial média na seção k.
Somando sobre todas as seções abertas do CV (entradas e saídas),
\sum_{k} \dot{m}_k \mathbf{v}_k = \int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{g}\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \mathbf{T}\cdot\mathbf{n}\,dA.
Para explicitar o sinal de entradas/saídas: tomando \mathbf{n} normal externo ao CV, em seções de saída (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})>0 e em seções de entrada (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})<0. Em prática usualmente se escreve a contribuição convectiva como
\sum_{\text{out}} \dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}} - \sum_{\text{in}} \dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}}.
Portanto, isolando as forças de superfície (por ex. reação em suportes, força sobre um corpo imerso, etc.), obtemos a forma muito usada:
\boxed{ \int_{\mathrm{CS_{\text{corpo}}}} \mathbf{T}\cdot\mathbf{n}\,dA = \sum_{\text{out}} \dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}} - \sum_{\text{in}} \dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}} - \int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{g}\,dV, }
quando o regime é permanente e as propriedades são constantes nas seções. Se a gravidade for desprezível, a expressão fica simplesmente
\int_{\mathrm{CS_{\text{corpo}}}} \mathbf{T}\cdot\mathbf{n}\,dA = \sum_{\text{out}} \dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}} - \sum_{\text{in}} \dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}}.
Comentário prático (exemplo simples): para um tubo com uma entrada e uma saída, ambas com a mesma massa mássica \dot{m}, a força necessária para equilibrar a mudança de momento é aproximadamente \mathbf{F}=\dot{m}(\mathbf{v}_{\text{out}}-\mathbf{v}_{\text{in}}) somada às forças de pressão e peso (se incluídas).

Passo 6

Resumo didático (como aplicar na prova para momento linear):
  • Identifique CV e CS; marque normais externas.
  • Escreva a forma integral geral:
\frac{d}{dt}\int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{v}\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \rho \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA = \int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{g}\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \mathbf{T}\cdot\mathbf{n}\,dA.
  • Para estado permanente zere o termo temporal.
  • Se houver poucas seções com perfis uniformes, substitua integrais por somas com \dot{m}_k\mathbf{v}_k.
  • Resolver com sinais consistentes (entradas negativas se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}<0).

Passo 7

Agora fazemos o balanço do momento angular. Para um sistema material, a lei do momento angular (torque resultante = variação do momento angular) é
\frac{d}{dt}\mathbf{H}_{\text{sys}}=\sum \mathbf{M}_{\text{ext}},
onde o momento angular do sistema em relação a uma origem é
\mathbf{H}_{\text{sys}}=\int_{\text{massa}} \mathbf{r}\times \mathbf{v}\,dm.
Explicar: \mathbf{r} é o vetor posição (a partir da origem escolhida), \mathbf{r}\times\mathbf{v} é o momento angular por unidade de massa; a derivada temporal total é a soma dos momentos (torques) externos.

Passo 8

Aplicando o RTT ao caso vetorial \mathbf{b}=\mathbf{r}\times\mathbf{v}, obtemos a forma para o CV:
\frac{d}{dt}\int_{\mathrm{CV}} \rho (\mathbf{r}\times\mathbf{v})\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \rho (\mathbf{r}\times\mathbf{v})\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA = \sum \mathbf{M}_{\text{ext}}.
As contribuições aos momentos externos são:
\sum \mathbf{M}_{\text{ext}} = \int_{\mathrm{CV}} \mathbf{r}\times(\rho \mathbf{g})\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \mathbf{r}\times (\mathbf{T}\cdot\mathbf{n})\,dA.
Portanto a forma integral geral do balanço de momento angular para o CV é
\boxed{ \dfrac{d}{dt}\int_{\mathrm{CV}} \rho (\mathbf{r}\times\mathbf{v})\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \rho (\mathbf{r}\times\mathbf{v})\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA = \int_{\mathrm{CV}} \mathbf{r}\times(\rho \mathbf{g})\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \mathbf{r}\times (\mathbf{T}\cdot\mathbf{n})\,dA. }
Explicando: a integral de fluxo convectivo contém \mathbf{r}\times\mathbf{v} multiplicada pela vazão mássica através da seção; o lado direito contém os momentos de forças de corpo e de forças de superfície.

Passo 9

Simplificação para regime permanente e seções de entrada/saída com perfis uniformes:
Em regime estacionário zera-se a derivada temporal:
\int_{\mathrm{CS}} \rho (\mathbf{r}\times\mathbf{v})\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA = \int_{\mathrm{CV}} \mathbf{r}\times(\rho \mathbf{g})\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \mathbf{r}\times (\mathbf{T}\cdot\mathbf{n})\,dA.
Para seções discretas com velocidade uniforme em cada seção k,
\int_{S_k} \rho (\mathbf{r}\times\mathbf{v})\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA = \dot{m}_k(\mathbf{r}_k\times\mathbf{v}_k),
onde \mathbf{r}_k é o vetor posição médio do ponto da seção usado como referência (por exemplo o centro da seção).
Somando sobre seções:
\sum_{k} \dot{m}_k(\mathbf{r}_k\times\mathbf{v}_k) = \int_{\mathrm{CV}} \mathbf{r}\times(\rho \mathbf{g})\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \mathbf{r}\times (\mathbf{T}\cdot\mathbf{n})\,dA.
Isolando os momentos das tensões de contato (por ex. momento líquido sobre um corpo imerso), e se desprezarmos gravidade, obtemos a forma prática:
\boxed{ \int_{\mathrm{CS_{\text{corpo}}}} \mathbf{r}\times (\mathbf{T}\cdot\mathbf{n})\,dA = \sum_{\text{out}} \dot{m}(\mathbf{r}\times\mathbf{v})_{\text{out}} - \sum_{\text{in}} \dot{m}(\mathbf{r}\times\mathbf{v})_{\text{in}}. }
Isto dá o torque (momento) resultante que as forças de superfície exercem sobre o corpo, em termos dos fluxos de massa e das posições e velocidades nas seções.

Passo 10

Dicas práticas de prova e exemplos rápidos:
  • Para calcular forças em suportes de uma curva de tubulação: use o balanço de momento linear no CV que engloba o trecho curvo; calcule \sum \dot{m}\mathbf{v} nas seções; inclua termos de pressão que atuam nas extremidades se as seções cortarem regiões com pressão diferente; não esqueça a gravidade se houver diferença de alturas importantes.
  • Para calcular torque aplicado por um jato que incide num disco: use o balanço de momento angular com \mathbf{r}\times\mathbf{v} na seção de saída do jato; resultado típico M = \dot{m}(\mathbf{r}\times\mathbf{v}) (soma sobre seções), cuidando do sistema de referência e do sinal.

Resposta

\text{Balanço integral do momento linear (geral):}\quad \frac{d}{dt}\int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{v}\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \rho \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA = \int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{g}\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \mathbf{T}\cdot\mathbf{n}\,dA.ç
\text{Balanço do momento linear em regime permanente com perfis uniformes nas seções:}\quad \sum_{\text{out}} \dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}} - \sum_{\text{in}} \dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}} = \int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{g}\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \mathbf{T}\cdot\mathbf{n}\,dA,ççõ
ou, isolando as forças de superfície sobre um corpo,
\int_{\mathrm{CS_{\text{corpo}}}} \mathbf{T}\cdot\mathbf{n}\,dA = \sum_{\text{out}} \dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}} - \sum_{\text{in}} \dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}} - \int_{\mathrm{CV}} \rho \mathbf{g}\,dV.
\text{Balanço integral do momento angular (geral):}\quad \frac{d}{dt}\int_{\mathrm{CV}} \rho (\mathbf{r}\times\mathbf{v})\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \rho (\mathbf{r}\times\mathbf{v})\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA = \int_{\mathrm{CV}} \mathbf{r}\times(\rho \mathbf{g})\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \mathbf{r}\times (\mathbf{T}\cdot\mathbf{n})\,dA.ç
\text{Balanço do momento angular em regime permanente com perfis uniformes nas seções:}\quad \sum_{\text{out}} \dot{m}(\mathbf{r}\times\mathbf{v})_{\text{out}} - \sum_{\text{in}} \dot{m}(\mathbf{r}\times\mathbf{v})_{\text{in}} = \int_{\mathrm{CV}} \mathbf{r}\times(\rho \mathbf{g})\,dV + \int_{\mathrm{CS}} \mathbf{r}\times (\mathbf{T}\cdot\mathbf{n})\,dA,ççõ
ou, desprezando gravidade e isolando o momento das tensões sobre o corpo,
\int_{\mathrm{CS_{\text{corpo}}}} \mathbf{r}\times (\mathbf{T}\cdot\mathbf{n})\,dA = \sum_{\text{out}} \dot{m}(\mathbf{r}\times\mathbf{v})_{\text{out}} - \sum_{\text{in}} \dot{m}(\mathbf{r}\times\mathbf{v})_{\text{in}}.

Exercícios relacionados