[2,0] Seja B=\left\{1+t+t^{2}, 1+t^{2}, t+t^{2}\right\} um subconjunto de P E(R).
a) Verifique que B é uma base de P E(R).
b) O conjunto \mathrm{C}=\left\{1+\mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}, 1+\mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}, 1+\mathrm{t}, \mathrm{t}, 1, \mathrm{t}^{2}\right\} é uma base de \mathrm{PE}(\mathrm{R}) ?
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos de polinômios em PE(\mathbb{R}) (polinômios reais de grau até 2) e pede duas coisas:
Verificar se B=\{\,1+t+t^{2},\;1+t^{2},\;t+t^{2}\,\} é uma base de PE(\mathbb{R}).
Verificar se C=\{\,1+t+t^{2},\;1+t+t^{2},\;1+t,\;t,\;1,\;t^{2}\,\} é uma base de PE(\mathbb{R}).
Informações relevantes dadas:
Os elementos de B e C são polinômios em t.
O espaço PE(\mathbb{R}) tem dimensão 3 (ou seja, uma base tem exatamente 3 vetores).
Não vamos resolver nada ainda; só identifiquei o que foi pedido e quais os dados.
Passo 2
Para trabalhar de forma concreta, representamos cada polinômio pelo seu vetor de coeficientes na base padrão \{1,t,t^{2}\}. Vou transformar os três polinômios de B em vetores coluna (coeficientes na ordem: coef. de 1, coef. de t, coef. de t^{2}):
Explicar rapidinho: cada vetor lista os coeficientes do polinômio, por exemplo 1+t+t^{2} tem coeficiente 1 para 1, 1 para t e 1 para t^{2}.]
Passo 3
Colocamos esses vetores como colunas de uma matriz A. Se \det(A)\neq 0, as colunas são linearmente independentes e, sendo 3 vetores num espaço de dimensão 3, formam uma base. A matriz é
Como \det(A)\neq 0, as colunas de A (isto é, os polinômios de B) são linearmente independentes. Além disso há exatamente 3 vetores e \dim(PE(\mathbb{R}))=3, logo qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes forma uma base. Conclusão: B é uma base de PE(\mathbb{R}).
Explicação pedagógica curta: mostrar independência é suficiente aqui porque num espaço de dimensão 3 um conjunto de 3 vectores independentes gera todo o espaço automaticamente.
Passo 6
Agora analiso o conjunto C=\{\,1+t+t^{2},\;1+t+t^{2},\;1+t,\;t,\;1,\;t^{2}\,\}.
Observações imediatas:
C tem 6 elementos, mas \dim(PE(\mathbb{R}))=3. Uma base não pode ter mais elementos do que a dimensão do espaço; no máximo 3 elementos seriam independentes.
Além disso, 1+t+t^{2} aparece duas vezes (há um elemento repetido), o que já garante dependência linear: dois iguais produzem uma combinação linear não-trivial que dá zero.
Passo 7
Mostro explicitamente uma combinação linear não-trivial que dá zero: se v=1+t+t^{2} aparece duas vezes em C, então
1\cdot v + (-1)\cdot v + 0\cdot(\text{outros})=0.
Isto é uma relação linear não-trivial entre elementos de C, logo C é linearmente dependente e portanto não pode ser base.
Resposta
a) Sim: B é base de PE(\mathbb{R}).\n
b) Não: C não é base de PE(\mathbb{R}).