[2,0] Seja B=\left\{1+t+t^{2}, 1+t^{2}, t+t^{2}\right\} um subconjunto de P E(R).
a) Verifique que B é uma base de P E(R).
b) O conjunto \mathrm{C}=\left\{1+\mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}, 1+\mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}, 1+\mathrm{t}, \mathrm{t}, 1, \mathrm{t}^{2}\right\} é uma base de \mathrm{PE}(\mathrm{R}) ?

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos de polinômios em PE(\mathbb{R}) (polinômios reais de grau até 2) e pede duas coisas:
  1. Verificar se B=\{\,1+t+t^{2},\;1+t^{2},\;t+t^{2}\,\} é uma base de PE(\mathbb{R}).
  2. Verificar se C=\{\,1+t+t^{2},\;1+t+t^{2},\;1+t,\;t,\;1,\;t^{2}\,\} é uma base de PE(\mathbb{R}).
Informações relevantes dadas:
  • Os elementos de B e C são polinômios em t.
  • O espaço PE(\mathbb{R}) tem dimensão 3 (ou seja, uma base tem exatamente 3 vetores).
    Não vamos resolver nada ainda; só identifiquei o que foi pedido e quais os dados.

Passo 2

Para trabalhar de forma concreta, representamos cada polinômio pelo seu vetor de coeficientes na base padrão \{1,t,t^{2}\}. Vou transformar os três polinômios de B em vetores coluna (coeficientes na ordem: coef. de 1, coef. de t, coef. de t^{2}):
1+t+t^{2} \longleftrightarrow \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad 1+t^{2} \longleftrightarrow \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t+t^{2} \longleftrightarrow \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Explicar rapidinho: cada vetor lista os coeficientes do polinômio, por exemplo 1+t+t^{2} tem coeficiente 1 para 1, 1 para t e 1 para t^{2}.]

Passo 3

Colocamos esses vetores como colunas de uma matriz A. Se \det(A)\neq 0, as colunas são linearmente independentes e, sendo 3 vetores num espaço de dimensão 3, formam uma base. A matriz é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
onde a 1ª coluna corresponde a 1+t+t^{2}, a 2ª a 1+t^{2} e a 3ª a t+t^{2}.]

Passo 4

Calculo o determinante de A usando desenvolvimento por cofactores (expandindo pela primeira linha):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot1=-1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot1=0.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-1)-1\cdot0+0\cdot(\cdots)=-1.
Portanto \det(A)=-1\neq 0.]

Passo 5

Como \det(A)\neq 0, as colunas de A (isto é, os polinômios de B) são linearmente independentes. Além disso há exatamente 3 vetores e \dim(PE(\mathbb{R}))=3, logo qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes forma uma base. Conclusão: B é uma base de PE(\mathbb{R}).
Explicação pedagógica curta: mostrar independência é suficiente aqui porque num espaço de dimensão 3 um conjunto de 3 vectores independentes gera todo o espaço automaticamente.

Passo 6

Agora analiso o conjunto C=\{\,1+t+t^{2},\;1+t+t^{2},\;1+t,\;t,\;1,\;t^{2}\,\}.
Observações imediatas:
  • C tem 6 elementos, mas \dim(PE(\mathbb{R}))=3. Uma base não pode ter mais elementos do que a dimensão do espaço; no máximo 3 elementos seriam independentes.
  • Além disso, 1+t+t^{2} aparece duas vezes (há um elemento repetido), o que já garante dependência linear: dois iguais produzem uma combinação linear não-trivial que dá zero.

Passo 7

Mostro explicitamente uma combinação linear não-trivial que dá zero: se v=1+t+t^{2} aparece duas vezes em C, então
1\cdot v + (-1)\cdot v + 0\cdot(\text{outros})=0.
Isto é uma relação linear não-trivial entre elementos de C, logo C é linearmente dependente e portanto não pode ser base.

Resposta

a) Sim: B é base de PE(\mathbb{R}).\n
b) Não: C não é base de PE(\mathbb{R}).

Exercícios relacionados