Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
[\overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}, \overrightarrow{\mathrm{k}}]
Passo 1
O enunciado pede para calcular [\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{v}},\overrightarrow{\mathrm{k}}].
As informações dadas são: \overrightarrow{\mathrm{u}}=2\overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\overrightarrow{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}=5\overrightarrow{\mathrm{i}}+5\overrightarrow{\mathrm{j}}-2\overrightarrow{\mathrm{k}} e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3\overrightarrow{\mathrm{i}}+6\overrightarrow{\mathrm{j}}.
O pedido usa \overrightarrow{\mathrm{k}} (o versor da direção z), ou seja a terceira coluna/vetor é \overrightarrow{\mathrm{k}}.
Passo 2
Vamos entender o que significa [\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{v}},\overrightarrow{\mathrm{k}}]. Existem duas maneiras equivalentes de calcular esse valor:
Como produto escalar entre \overrightarrow{\mathrm{u}} e o produto vetorial \overrightarrow{\mathrm{v}}\times\overrightarrow{\mathrm{k}}:
Aqui \cdot é o produto escalar (soma dos produtos de componentes) e \times é o produto vetorial (gera um vetor perpendicular aos dois vetores).
2) Como o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores:
Qualquer uma das duas é válida; aqui vou usar a primeira (produto escalar após produto vetorial) porque facilita com \overrightarrow{\mathrm{k}}=(0,0,1).]
Passo 3
Primeiro extraímos as componentes dos vetores (peguei diretamente do enunciado):
Expliquei: cada coordenada corresponde aos coeficientes de \overrightarrow{\mathrm{i}},\overrightarrow{\mathrm{j}},\overrightarrow{\mathrm{k}}.
Passo 4
Calculamos o produto vetorial \overrightarrow{\mathrm{v}}\times\overrightarrow{\mathrm{k}}. A fórmula componente a componente para \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} é
Agora fazemos o produto escalar \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{v}}\times\overrightarrow{\mathrm{k}}). A fórmula do produto escalar é
(Verificação rápida pelo determinante 3\times3😃 escrevendo as linhas como as componentes e expandindo pela terceira linha (0,0,1), obtemos o menor 2\times2