Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
[\overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}, \overrightarrow{\mathrm{k}}]

Passo 1

O enunciado pede para calcular [\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{v}},\overrightarrow{\mathrm{k}}].
As informações dadas são:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=2\overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\overrightarrow{\mathrm{k}},
\overrightarrow{\mathrm{v}}=5\overrightarrow{\mathrm{i}}+5\overrightarrow{\mathrm{j}}-2\overrightarrow{\mathrm{k}} e
\overrightarrow{\mathrm{w}}=3\overrightarrow{\mathrm{i}}+6\overrightarrow{\mathrm{j}}.
O pedido usa \overrightarrow{\mathrm{k}} (o versor da direção z), ou seja a terceira coluna/vetor é \overrightarrow{\mathrm{k}}.

Passo 2

Vamos entender o que significa [\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{v}},\overrightarrow{\mathrm{k}}]. Existem duas maneiras equivalentes de calcular esse valor:
  1. Como produto escalar entre \overrightarrow{\mathrm{u}} e o produto vetorial \overrightarrow{\mathrm{v}}\times\overrightarrow{\mathrm{k}}:
[\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{v}},\overrightarrow{\mathrm{k}}]=\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{v}}\times\overrightarrow{\mathrm{k}}).
Aqui \cdot é o produto escalar (soma dos produtos de componentes) e \times é o produto vetorial (gera um vetor perpendicular aos dois vetores).
2) Como o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores:
[\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{v}},\overrightarrow{\mathrm{k}}]= \begin{vmatrix} u_x & u_y & u_z\\[4pt] v_x & v_y & v_z\\[4pt] k_x & k_y & k_z \end{vmatrix}.
Qualquer uma das duas é válida; aqui vou usar a primeira (produto escalar após produto vetorial) porque facilita com \overrightarrow{\mathrm{k}}=(0,0,1).]

Passo 3

Primeiro extraímos as componentes dos vetores (peguei diretamente do enunciado):
\overrightarrow{\mathrm{u}}=(2,\,-1,\,2),\qquad \overrightarrow{\mathrm{v}}=(5,\,5,\,-2),\qquad \overrightarrow{\mathrm{k}}=(0,\,0,\,1).
Expliquei: cada coordenada corresponde aos coeficientes de \overrightarrow{\mathrm{i}},\overrightarrow{\mathrm{j}},\overrightarrow{\mathrm{k}}.

Passo 4

Calculamos o produto vetorial \overrightarrow{\mathrm{v}}\times\overrightarrow{\mathrm{k}}. A fórmula componente a componente para \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} é
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x).
Aplicando com \overrightarrow{\mathrm{v}}=(5,5,-2) e \overrightarrow{\mathrm{k}}=(0,0,1):
  • primeira componente: v_y k_z - v_z k_y = 5\cdot 1 - (-2)\cdot 0 = 5,
  • segunda componente: v_z k_x - v_x k_z = (-2)\cdot 0 - 5\cdot 1 = -5,
  • terceira componente: v_x k_y - v_y k_x = 5\cdot 0 - 5\cdot 0 = 0.
    Logo
\overrightarrow{\mathrm{v}}\times\overrightarrow{\mathrm{k}}=(5,\,-5,\,0).

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{v}}\times\overrightarrow{\mathrm{k}}). A fórmula do produto escalar é
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Substituindo \overrightarrow{\mathrm{u}}=(2,-1,2) e \overrightarrow{\mathrm{v}}\times\overrightarrow{\mathrm{k}}=(5,-5,0):
\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{v}}\times\overrightarrow{\mathrm{k}})=2\cdot 5 + (-1)\cdot(-5) + 2\cdot 0 = 10 + 5 + 0 = 15.

Passo 6

(Verificação rápida pelo determinante 3\times3😃 escrevendo as linhas como as componentes e expandindo pela terceira linha (0,0,1), obtemos o menor 2\times2
\begin{vmatrix} 2 & -1\\[4pt] 5 & 5 \end{vmatrix} =2\cdot 5 - (-1)\cdot 5 =10+5=15,
compatível com o resultado anterior.]

Resposta

15

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