Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
O volume do paralelepípedo de arestas \mathrm{AB}, \mathrm{AC}\ e AD , onde \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}\ e \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{w}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do paralelepípedo cujas arestas são \mathrm{AB}, \mathrm{AC} e \mathrm{AD}, com
\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{v}} e \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{w}}.
As informações dadas (extraídas do enunciado) são:
\overrightarrow{\mathrm{u}} = 2\overrightarrow{\mathrm{i}} - \overrightarrow{\mathrm{j}} + 2\overrightarrow{\mathrm{k}},
\overrightarrow{\mathrm{v}} = 5\overrightarrow{\mathrm{i}} + 5\overrightarrow{\mathrm{j}} - 2\overrightarrow{\mathrm{k}},
\overrightarrow{\mathrm{w}} = 3\overrightarrow{\mathrm{i}} + 6\overrightarrow{\mathrm{j}} + 0\overrightarrow{\mathrm{k}}.
Ou, em componentes (mais prático para cálculos):
\overrightarrow{\mathrm{u}} = (2,\,-1,\,2),\quad \overrightarrow{\mathrm{v}} = (5,\,5,\,-2),\quad \overrightarrow{\mathrm{w}} = (3,\,6,\,0).
O que precisamos entregar: o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores como arestas a partir de um mesmo vértice.

Passo 2

Conceito útil (aulas rápidas e práticas): o volume V de um paralelepípedo cujas arestas a partir de um vértice são os vetores \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} é o valor absoluto do produto misto (produto escalar de um com o produto vetorial dos outros):
V = \left|\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})\right|.
Explicando os operadores:
  • O produto vetorial \overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c} gera um vetor perpendicular ao plano de \overrightarrow{b} e \overrightarrow{c}; suas componentes podem ser calculadas por uma “determinante” 3×3 ou pela fórmula componente-a-componente.
  • O produto escalar \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d} com um vetor \overrightarrow{d} é a soma dos produtos das componentes correspondentes: se \overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3) e \overrightarrow{d}=(d_1,d_2,d_3), então \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}=a_1d_1+a_2d_2+a_3d_3.
  • O valor absoluto garante que o volume seja não negativo (o produto misto tem sinal que depende da orientação dos vetores).
Método escolhido (simples e direto): calcular primeiro \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w} com a fórmula de componentes e depois fazer \overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}). Esse método é prático para fazer “na mão” passo a passo.

Passo 3

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}.
Usamos a fórmula componente-a-componente: se \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3) e \overrightarrow{w}=(w_1,w_2,w_3), então
\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w} = \big(v_2w_3-v_3w_2,\; v_3w_1-v_1w_3,\; v_1w_2-v_2w_1\big).
Aqui \overrightarrow{v}=(5,5,-2) e \overrightarrow{w}=(3,6,0). Calculamos cada componente:
  1. Componente x (primeira):
v_2w_3 - v_3w_2 = 5\cdot 0 - (-2)\cdot 6 = 0 + 12 = 12.
  1. Componente y (segunda):
v_3w_1 - v_1w_3 = (-2)\cdot 3 - 5\cdot 0 = -6 - 0 = -6.
  1. Componente z (terceira):
v_1w_2 - v_2w_1 = 5\cdot 6 - 5\cdot 3 = 30 - 15 = 15.
Portanto
\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w} = (12,\,-6,\,15).

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar \overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}).
Recordando: se \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3) e \overrightarrow{d}=(d_1,d_2,d_3), então
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{d}=u_1d_1+u_2d_2+u_3d_3.
Aqui \overrightarrow{u}=(2,-1,2) e \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}=(12,-6,15). Fazemos:
\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}) = 2\cdot 12 + (-1)\cdot (-6) + 2\cdot 15.
Calculando cada termo:
2\cdot 12 = 24,\quad (-1)\cdot(-6)=6,\quad 2\cdot 15 = 30.
Somando:
24 + 6 + 30 = 60.

Passo 5

Volume do paralelepípedo: tomamos o valor absoluto do produto misto (para remover sinal orientacional):
V = \left|\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w})\right| = |60| = 60.
Dica prática para prova: você pode calcular o mesmo número diretamente como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}. O resultado absoluto desse determinante é o volume; fizemos aqui o caminho cross then dot porque é bem visual e fácil de executar à mão.

Resposta

60

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