Calcule o tempo necessário para a superfície de uma esfera de 30 mm de diâmetro atingir 415 K , que está inicialmente a 800 K e é resfriada em grande banho onde a temperatura é 320K e o coeficiente convectivo é h=50 W / m^2.K. As propriedades do sólido são k=1,7 W / m K, rho=400 kg / m^3 e cp=1600 J / kg K.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma esfera de diâmetro (logo raio ) que começa a e é mergulhada num banho a com coeficiente de convecção A gente quer saber em que tempo a superfície da esfera atinge O conteúdo aqui é transferência de calor transiente usando o método de lumped capacitance (ou “corpo de temperatura uniforme”). Para isso vamos precisar:
  1. Checar o número de Biot pra ver se vale o lumped;
  2. Montar a equação de resfriamento exponencial;
  3. Isolar o tempo.

Passo 2

Calcular o número de Biot:
  • o comprimento característico é Bi = h,Lck = 50cdot 0,0051,7 approx 0,147 . Pra esfera
  • então
Regra geral diz que se usamos lumped; aqui é meio “na beirada”, mas vamos seguir com o modelo de corpo único, aceitando a aproximação.

Passo 3

No lumped capacitance a temperatura da esfera evolui como
T(t)-TinftyTi - Tinfty = exp!l(-h,Arho,V,cp,tr)
O tempo característico
tau = rho,V,cph,A
Como tau = rho,l(tfrac43pi r^3r),cph,(4pi r^2) = rho,cp,r3,h e tau = 400cdot1600cdot0,0153cdot50 approx 64;s , dá pra simplificar:
Substituindo , , e :

Passo 4

Agora a gente quer 415 - 320800 - 320 = exp!l(-t/taur) Longrightarrow t = -,tau;ln!l(415-320800-320r) . Então
415-320800-320 = 95480approx0,1979, t = -64;ln(0,1979)approx 104;s
Calculando:

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente .

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