Águas residuais municipais maltratadas são descarregadas em um curso d’água. A concentração de DBO imediatamente a jusante do ponto de descarga é igual a
. Se o curso d’água tiver uma área transversal de
, qual é a concentração de DBO 50 km a jusante, em mg/L? (a DBO é removida com uma constante de taxa de decaimento de primeira ordem igual a
dia). Considere a vazão total imediatamente a jusante do ponto de descarga igual a
.
Passo 1
O enunciado pede: qual é a concentração de DBO a
a jusante, em
, sabendo que a DBO decai por cinética de primeira ordem.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- Concentração imediatamente a jusante:
. - Área da seção transversal do rio:
. - Vazão total imediatamente a jusante:
. - Distância a jusante desejada:
. (peguei este valor convertendo para metros) - Constante de decaimento de primeira ordem:
.
O objetivo é calcular
, a concentração após o tempo que a massa de água/DBO leva para percorrer
.
Passo 2
Calcular a velocidade média do escoamento a partir de
e
. Fórmula (continuidade):
Substituindo os valores (atenção às unidades):
Interpretação rápida: isso significa que a “gota” de água viaja a
em média.
Passo 3
Calcular o tempo de viagem
até
. Primeiro em segundos:
Como a constante
está em
, convertemos
para dias dividindo por
:
Passo 4
Apresentar a lei do decaimento de primeira ordem e sua dedução (para ficar claro como usar):
A equação diferencial da reação de primeira ordem é
onde:
-
é a concentração no tempo , -
é a constante de taxa (aqui em ).
Separando variáveis e integrando de
a
:
Exponenciando:
Essa é a fórmula que usamos: multiplicar
por
.
Passo 5
Aplicar a fórmula com os valores numéricos. Já temos
e
. Primeiro calcular o produto
:
Agora a fração remanescente
:
Multiplicando por
:
Interpretação curta: a DBO decai pouco porque o tempo de viagem (
dia) é curto em relação à taxa
; por isso a concentração caiu de
para cerca de
.