[2,5] Águas residuais municipais maltratadas são descarregadas em um curso d’água. A concentração de DBO imediatamente a jusante do ponto de descarga é igual a 4,7 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Se o curso d’água tiver uma área transversal de 10 \mathrm{~m}^{2}, qual é a concentração de DBO 50 km a jusante, em mg/L? (a DBO é removida com uma constante de taxa de decaimento de primeira ordem igual a 0,20 / dia). Considere a vazão total imediatamente a jusante do ponto de descarga igual a 9,6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede: qual é a concentração de DBO a 50\\ \mathrm{km} a jusante, em \mathrm{mg/L}, sabendo que a DBO decai por cinética de primeira ordem.
Dados fornecidos:
  • Concentração imediatamente a jusante: C_0 = 4,7\\ \mathrm{mg/L}.
  • Área da seção transversal do rio: A = 10\\ \mathrm{m^2}.
  • Vazão total imediatamente a jusante: Q = 9,6\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Distância a jusante desejada: L = 50\\ \mathrm{km} = 50\,000\\ \mathrm{m}. (peguei este valor convertendo 50\\ \mathrm{km} para metros)
  • Constante de decaimento de primeira ordem: k = 0,20\\ \mathrm{dia^{-1}}.
O objetivo é calcular C(L), a concentração após o tempo que a massa de água/DBO leva para percorrer 50\\ \mathrm{km}.

Passo 2

Calcular a velocidade média do escoamento a partir de Q e A. Fórmula (continuidade): v=\frac{Q}{A}.
Substituindo os valores (atenção às unidades): v=\frac{9,6\\ \mathrm{m^3/s}}{10\\ \mathrm{m^2}}=\;0,96\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: isso significa que a “gota” de água viaja a 0,96\\ \mathrm{m/s} em média.

Passo 3

Calcular o tempo de viagem t até 50\\ \mathrm{km}. Primeiro em segundos: t_{\mathrm{s}}=\frac{L}{v}=\frac{50\,000\\ \mathrm{m}}{0,96\\ \mathrm{m/s}}=52\,083{,}333\\ \mathrm{s}.
Como a constante k está em \mathrm{dia^{-1}}, convertemos t para dias dividindo por 86\,400\\ \mathrm{s/dia}: t=\frac{t_{\mathrm{s}}}{86\,400}=\frac{52\,083{,}333}{86\,400}\\ \mathrm{dia}\approx0,60282\\ \mathrm{dia}.

Passo 4

Apresentar a lei do decaimento de primeira ordem e sua dedução (para ficar claro como usar):
A equação diferencial da reação de primeira ordem é \frac{dC}{dt}=-k\,C,
onde:
  • C(t) é a concentração no tempo t,
  • k é a constante de taxa (aqui em \mathrm{dia^{-1}}).
Separando variáveis e integrando de 0 a t: \int_{C_0}^{C(t)}\frac{dC}{C}=-\int_{0}^{t}k\,dt
\ln\!\left(\frac{C(t)}{C_0}\right)=-k\,t.
Exponenciando: C(t)=C_0\,e^{-k t}.
Essa é a fórmula que usamos: multiplicar C_0 por e^{-k t}.

Passo 5

Aplicar a fórmula com os valores numéricos. Já temos t\approx0,60282\\ \mathrm{dia} e k=0,20\\ \mathrm{dia^{-1}}. Primeiro calcular o produto k t: k\,t=0,20\times0,60282\approx0,12056.
Agora a fração remanescente e^{-k t}: e^{-0,12056}\approx0,8865.
Multiplicando por C_0: C(t)=4,7\\ \mathrm{mg/L}\times0,8865\approx4,17\\ \mathrm{mg/L}.
Interpretação curta: a DBO decai pouco porque o tempo de viagem ( \sim0,60 dia) é curto em relação à taxa k; por isso a concentração caiu de 4,7 para cerca de 4,17\\ \mathrm{mg/L}.

Resposta

4,17\\ \mathrm{mg/L}

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