Questão 1 - Na solução numérica da equação de Blasius f^{\prime \prime \prime}+\frac{1}{2} f . f^{\prime \prime}=0 utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem quais são as condições de contorno utilizadas na solução numérica? Explique cada uma delas. (1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado pergunta: quais são as condições de contorno usadas na solução numérica da equação de Blasius
f^{\prime\prime\prime} + \tfrac{1}{2}\,f\,f^{\prime\prime}=0
quando se emprega o método de Runge–Kutta de quarta ordem, e pede que cada condição seja explicada. A única informação extra do enunciado é que a solução é numérica (ou seja, transforma-se o problema numa integração a partir de um ponto inicial).

Passo 2

Apresento as condições de contorno clássicas usadas no problema de Blasius (vou somente listá‑las aqui; a explicação vem a seguir):
f(0)=0, \qquad f'(0)=0, \qquad f'(\infty)=1.

Passo 3

Explicação física e intuitiva de cada condição:
  • Para \,f(0)=0: em problemas de camada limite a função f(\eta) é a função de corrente adimensionalizada (normalizada por U_\infty e escalas de comprimento). O valor f(0)=0 corresponde à condição de impermeabilidade da parede: a componente normal da velocidade na superfície é nula (não há penetração através da parede).
  • Para \,f'(0)=0: a derivada f'(\eta) é proporcional à componente tangencial da velocidade do fluxo adimensionalizada. Assim f'(0)=0 representa a condição de não deslizamento (no‑slip) na parede: a velocidade do fluido junto à parede iguala a velocidade da parede (aqui a parede está fixa, então velocidade tangencial é zero).
  • Para \,f'(\infty)=1: longe da parede (no infinito em coordenada adimensional \eta) a velocidade tangencial deve igualar a velocidade livre U_\infty. Como a adimensionalização foi feita por U_\infty, isso dá f'(\infty)=1. Essa é a condição de correspondência com o escoamento exterior invíscido.

Passo 4

Por que isso é um desafio numérico e o que se faz na prática: a equação é de terceira ordem, portanto formalmente precisa de três condições. Duas condições são dadas em \eta=0 (ponto inicial), mas a terceira está em infinito, não no ponto inicial — isso impede aplicar diretamente um método de passo único que exige todos os dados no mesmo ponto. A estratégia numérica típica é transformar o problema de contorno numa família de problemas de valor inicial (método de shooting): assume‑se um valor inicial desconhecido
f''(0)=s
(e s é um parâmetro a determinar), e integra‑se a partir de \eta=0 até um \eta_{\max} grande usando RK4. Ajusta‑se s até que a condição no infinito seja satisfeita numericamente, isto é até que f'(\eta_{\max})\approx1.

Passo 5

Como converter para um sistema de primeira ordem (passo necessário para aplicar RK4) e como as condições aparecem: defina
y_1=f,\qquad y_2=f',\qquad y_3=f''.
O sistema equivalente é
y_1' = y_2, \qquad y_2' = y_3, \qquad y_3' = -\tfrac{1}{2}\,y_1\,y_3.
As condições iniciais em \eta=0 ficam
y_1(0)=0,\qquad y_2(0)=0,\qquad y_3(0)=s,
onde s é a incógnita que será ajustada. O RK4 integra esse sistema para um dado s. Após a integração até \eta=\eta_{\max} calcula‑se o resíduo
R(s)=y_2(\eta_{\max};s)-1
e usa‑se um método de root‑finding (por exemplo bissecção, secante ou Newton) sobre s para levar R(s) a zero dentro de uma tolerância.

Passo 6

Algumas dicas práticas e números úteis (isto ajuda quando for implementar na prova ou no laboratório):
  • Em vez de \infty usa‑se um \eta_{\max} finito (tipicamente entre 6 e 10, dependendo de tolerância), pois para Blasius a solução já chegou muito próximo ao regime assintótico nesse intervalo.
  • Escolha uma tolerância razoável para |R(s)| como 10^{-6} ou 10^{-8}.
  • Um chute inicial para s=f''(0) costuma ser perto de 0{,}33; o valor conhecido (referência) é aproximadamente f''(0)\approx0{,}33206.
  • O método RK4 exige que em cada passo se calcule quatros incrementos (k1…k4) por componente; para um sistema \mathbf{y}'=\mathbf{F}(\eta,\mathbf{y}) a iteração básica é (em notação compacta):
\mathbf{k}_1 = h\,\mathbf{F}(\eta_n,\mathbf{y}_n), \quad \mathbf{k}_2 = h\,\mathbf{F}(\eta_n+\tfrac{h}{2},\mathbf{y}_n+\tfrac{\mathbf{k}_1}{2}),
\mathbf{k}_3 = h\,\mathbf{F}(\eta_n+\tfrac{h}{2},\mathbf{y}_n+\tfrac{\mathbf{k}_2}{2}), \quad \mathbf{k}_4 = h\,\mathbf{F}(\eta_n+h,\mathbf{y}_n+\mathbf{k}_3),
\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\tfrac{1}{6}(\mathbf{k}_1+2\mathbf{k}_2+2\mathbf{k}_3+\mathbf{k}_4).
Aplicando isso ao sistema acima e repetindo até \eta_{\max} obtém‑se y_2(\eta_{\max}) para comparar com 1.

Passo 7

Significado adicional de f''(0): além de ser o parâmetro de ajuste, f''(0) tem interpretação física — está ligado à tensão de cisalhamento na parede (skin friction). Por isso encontrar f''(0) é também encontrar a intensidade do atrito na parede no problema de Blasius.

Resposta

f(0)=0
f'(0)=0
f'(\infty)=1

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