[2,5] Considere o volume e o escoamento em dois dos Grandes Lagos Norte-Americanos, Lago Superior e Lago Erie. No Lago Superior, o volume e o escoamento são iguais a, respectivamente. 12000\left(10^{9} \mathrm{~m}^{3}\right) e 67 ( 10^{9} \mathrm{~m}^{3} / ano ). Já no lago Erie, o volume e o escoamento säo iguais a. respectivamente, 468\left[10^{9} \mathrm{~m}^{3}\right] e 182\left[10^{9} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{ano}\right]. (a) Em qual dos dois lagos em questäo as concentrações de poluentes podem aumentar com mais rapidez? (b) Em qual dos dois lagos em questão as concentrações de poluentes vão cair com mais rapidez se uma fonte de poluentes for eliminada (considerando que o escoamento dos dois lagos seja o dissipador dominante dos poluentes)? Responda aos itens (a) e (b) com base em cálculos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei estes números do enunciado):
  • Lago Superior:
    • Volume: \,V_S = 12000\,(10^{9}\,\mathrm{m^{3}}). Ou seja, \,V_S = 12000\times10^{9}\,\mathrm{m^{3}}.
    • Escoamento (vazão): \,Q_S = 67\,(10^{9}\,\mathrm{m^{3}/ano}). Ou seja, \,Q_S = 67\times10^{9}\,\mathrm{m^{3}/ano}.
  • Lago Erie:
    • Volume: \,V_E = 468\,(10^{9}\,\mathrm{m^{3}}). Ou seja, \,V_E = 468\times10^{9}\,\mathrm{m^{3}}.
    • Escoamento (vazão): \,Q_E = 182\,(10^{9}\,\mathrm{m^{3}/ano}). Ou seja, \,Q_E = 182\times10^{9}\,\mathrm{m^{3}/ano}.
O enunciado pede:
(a) Em qual lago as concentrações de poluentes podem aumentar com mais rapidez?
(b) Em qual lago as concentrações vão cair com mais rapidez se uma fonte for eliminada (assumindo que o escoamento é o dissipador dominante)?

Passo 2

Modelo físico simples e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
  • Vamos modelar cada lago como um “reservatório bem misturado” (modelo caixa). Isso significa que a concentração do poluente dentro do lago é homogênea em todo o volume V e só muda por entrada/saída de água e por fontes internas, se houver.
  • Variáveis:
    • V: volume do lago (m³).
    • Q: vazão de saída (m³/ano). No regime estacionário de volume, a vazão de saída iguala a vazão de entrada.
    • C(t): concentração do poluente no lago (massa/volume) no tempo t.
    • S: taxa de entrada de massa de poluente (massa/ano) proveniente de uma fonte interna constante (ex.: descarga direta).
    • C_{\text{in}}: concentração do poluente na água que entra (massa/volume), caso a fonte venha na vazão de entrada.
Do balanço de massa para a massa M(t)=V C(t) do poluente no lago:
  • Se há fonte interna S e saída de massa por escoamento com concentração C, então
    \frac{dM}{dt}=S - Q\,C(t).
    Dividindo por V:
    \frac{dC}{dt}=\frac{S}{V} - \frac{Q}{V}\,C(t).
  • Se a fonte é pela água de entrada com concentração C_{\text{in}} (e nenhuma fonte interna), então
    \frac{dM}{dt}=Q\,C_{\text{in}} - Q\,C(t),
    e dividindo por V:
    \frac{dC}{dt}=\frac{Q}{V}\left(C_{\text{in}}-C(t)\right).
  • Em ambos os casos aparece o parâmetro fundamental
    \text{taxa de renovação }k=\frac{Q}{V}\quad\text{(unidade: ano}^{-1}\text{)}çã
    e o tempo característico (tempo de residência/renovação)
    \tau=\frac{V}{Q}=\frac{1}{k}\quad\text{(unidade: anos).}
    Interpretação física: \tau é a ordem de grandeza do tempo que a água (e portanto o poluente) permanece no lago; quanto menor \tau (ou maior k), mais rápido o lago troca sua água e mais rápido a concentração responde a mudanças.

Passo 3

Calcular os tempos de residência e as taxas k para os dois lagos. Como volumes e vazões foram dados em unidades idênticas com fator 10^{9}, podemos cancelar esse fator ao formar as razões (isso evita lidar com números muito grandes).
  • Lago Superior:
    \tau_S=\frac{V_S}{Q_S}=\frac{12000}{67}\\ \text{anos}.
    Vamos calcular:
    \frac{12000}{67}\approx 179{,}104\\ \text{anos}.
    A taxa de renovação é
    k_S=\frac{Q_S}{V_S}=\frac{67}{12000}\approx 0{,}005583\\ \text{ano}^{-1}.
  • Lago Erie:
    \tau_E=\frac{V_E}{Q_E}=\frac{468}{182}\\ \text{anos}.
    Calculando:
    \frac{468}{182}=\frac{234}{91}\approx 2{,}5714\\ \text{anos}.
    A taxa de renovação é
    k_E=\frac{Q_E}{V_E}=\frac{182}{468}\approx 0{,}3880\\ \text{ano}^{-1}.
Resumo numérico:
  • \tau_S\approx 179{,}1\\ \text{anos}, k_S\approx 0{,}00558\\ \text{ano}^{-1}.
  • \tau_E\approx 2{,}57\\ \text{anos}, k_E\approx 0{,}388\\ \text{ano}^{-1}.

Passo 4

Interpretação física e resposta ao item (b) — eliminação da fonte (decadência):
  • Se uma fonte de poluentes for eliminada (por exemplo S passa a zero e não há mais entrada C_{\text{in}} contaminada), o modelo resulta em decaimento exponencial da concentração:
    \frac{dC}{dt}=-\frac{Q}{V}C \quad\Rightarrow\quad C(t)=C(0)\,\mathrm{e}^{-k t}.
    O tempo característico de queda é \tau=V/Q. Portanto, quanto menor \tau (ou maior k), mais rápido a concentração cai.
  • Comparando \tau_S e \tau_E:
    \tau_E\approx 2{,}57\\ \text{anos}\ll \tau_S\approx179{,}1\\ \text{anos},
    logo o Lago Erie tem renovação muito mais rápida. Conclusão para (b): as concentrações no Lago Erie cairão com muito mais rapidez que no Lago Superior se a fonte for eliminada (porque k_E\gg k_S).

Passo 5

Resposta ao item (a) — em qual lago as concentrações podem aumentar mais rapidamente?
Há duas situações comuns para um aumento de concentração; vou mostrar as duas e calcular a taxa inicial em cada caso (ambas levam à mesma conclusão prática):
  1. Fonte interna constante S (mesma massa por ano adicionada aos dois lagos): o início da subida da concentração (em t=0, assumindo C(0)=0) é
    \left.\frac{dC}{dt}\right|_{t=0}=\frac{S}{V}.
    Para mesma S, quanto menor V maior a inclinação inicial. Como V_E\ll V_S, o Lago Erie apresenta aumento de concentração mais rápido.
    Exemplo numérico ilustrativo: se S=1 (unidade arbitrária de massa/ano),
    \left.\frac{dC}{dt}\right|_{t=0,\;S=1}=\frac{1}{V}.
    Para Superior: 1/12000\approx8{,}33\times10^{-5} (unidades relativas); para Erie: 1/468\approx2{,}14\times10^{-3}. O valor para Erie é muito maior.
  2. Fonte via água de entrada com concentração C_{\text{in}}>0: a equação
    \frac{dC}{dt}=\frac{Q}{V}\left(C_{\text{in}}-C\right)
    dá, no início com C(0)=0,
    \left.\frac{dC}{dt}\right|_{t=0}=\frac{Q}{V}\,C_{\text{in}}=k\,C_{\text{in}}.
    Aqui a taxa inicial é proporcional a k=Q/V. Calculamos acima k_E\approx0{,}388 e k_S\approx0{,}00558; assim para qualquer mesmo C_{\text{in}} o Lago Erie aumenta muito mais rápido (cerca de 0{,}388/0{,}00558\approx69{,}6 vezes mais rápido na taxa inicial).
Portanto, quer a poluição entre como descarga interna fixa, quer venha pela água de entrada, os cálculos mostram que o Lago Erie responde muito mais rapidamente às mudanças (aumento) porque tem volume bem menor e/ou razão Q/V muito maior.

Passo 6

Conclusão final (resumida e encorajadora): os cálculos numéricos do tempo de residência \tau e da taxa k mostram claramente que o Lago Erie troca sua água muito mais depressa que o Lago Superior; por isso concentrações aumentam e também decaem mais rapidamente no Lago Erie. Força aí — a intuição foi traduzida em contas simples!

Resposta

(a) Lago Erie
(b) Lago Erie

Exercícios relacionados