Questão 2 - Uma esfera de massa específica
e diâmetro
cai em um fluido de massa específica
e viscosidade
, partindo do repouso. Admitindo um coeficiente de arrasto constante
deduza uma equação para a velocidade
em função do tempo e em termos de
e
Pontos)
Passo 1
O enunciado pede que se deduza uma equação para a velocidade
da esfera em função do tempo, usando como dados
(massa específica da esfera),
(massa específica do fluido),
(diâmetro da esfera),
(aceleração da gravidade) e
(coeficiente de arrasto constante). A esfera parte do repouso, logo condição inicial:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Massa específica da esfera:
. - Massa específica do fluido:
. - Diâmetro da esfera:
. - Viscosidade
é dada, mas é dito que o coeficiente de arrasto é constante (então a dependência explícita de não aparecerá na fórmula final). - Coeficiente de arrasto constante:
. - Força peso, empuxo (Archimedes) e arrasto são as forças que atuam na esfera durante a queda.
O objetivo final: obterexpresso em termos de .
Passo 2
Escrevendo as forças atuantes e as fórmulas necessárias (a “aula curta” das forças):
- Peso da esfera: é a massa vezes
. A massa da esfera é o volume vezes . Volume de uma esfera de diâmetro é . Portanto a força peso é
- Empuxo (força de Arquimedes): é o peso do fluido deslocado, ou seja volume vezes
vezes :
- Força de arrasto: com coeficiente de arrasto constante
, usa-se a forma clássica quadrática em velocidade para corpos de dimensão fixa:
onde
é a área projetada da esfera perpendicular ao movimento. Para esfera
. Substituindo:
Observação de sinal:
sempre atua oposta ao movimento (para velocidade descendente positiva,
aponta para cima).
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton na direção vertical (para baixo tomamos positivo). Soma das forças para baixo = massa
aceleração:
Substituindo as expressões obtidas:
Passo 4
Simplificamos a equação dividindo ambos os lados por
. Primeiro, escrevo o lado direito agrupando os termos de gravidade:
Dividindo por
dá:
Agora simplifica a fração do termo de arrasto. O fator
sobre
dá
. E
. Assim obtemos
Passo 5
Para clareza, escrevemos a equação escalar no formato padrão
onde definimos
Comentário didático: esse é um ODE comum para queda com arrasto quadrático.
é a aceleração “bruta” devido ao excesso de peso por unidade de massa (peso efetivo dividido pela massa), e
mede quanto o arrasto aumenta com
(tem dimensão de
velocidade
por tempo).
Passo 6
Solução da EDO por separação de variáveis. A equação
é separável:
Integramos ambos os lados desde
até
e de
até
. A integral da esquerda é uma forma conhecida; usando a primitiva com função hiperbólica inversa:
Portanto,
Aplicando a condição inicial
a constante de integração é zero. Agora isolamos
usando a inversa da
, que é a hiperbólica
:
Finalmente,
Passo 7
Expressando
e
em termos das grandezas iniciais para ficar no formato pedido. Calcula-se
logo
E
logo
Portanto a solução explícita, limpa e em termos apenas de
é
Interpretação física rápida: o fator fora da
é a velocidade terminal
. À medida que
,
e
. A viscosidade
não aparece na expressão porque foi assumido um coeficiente de arrasto constante
(que encapsula efeitos dependentes de
e do regime de escoamento).