[2.5] Considere a elipse Omega de equação x^2+x y+y^2-1=0.
Sejam r a reta tangente à Omega no ponto P=(-1,0), e s a reta perpendicular (normal) à Omega no ponto Q=(1,0). Encontre r cap s, isto é, a interseção entre as retas r e s.

  1. ^1 INSTRUÇÕES: A avaliação é individual. É proibido o uso de calculadora.

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre a reta r tangente à elipse definida por
Omega:;x^2+xy+y^2-1=0
no ponto P=(-1,0) e a reta s normal à mesma elipse no ponto Q=(1,0).
Vamos usar derivação implícita para obter a inclinação da tangente, depois escrever as equações de r e s e, por fim, resolver o sistema para encontrar rcap s.

Passo 2

Defina F(x,y)=x^2+xy+y^2-1. As derivadas parciais são
Fx = 2x+y, Fy = x+2y
Pela derivada implícita,
dydx = -FxFy
Em P=(-1,0) temos
Fx(-1,0) = -2, Fy(-1,0) = -1 Longrightarrow dydx|P = --2-1 = -2
Em Q=(1,0) temos
Fx(1,0) = 2, Fy(1,0) = 1 Longrightarrow dydx|Q = -21 = -2
Logo, a reta tangente tem inclinação -2 e a reta normal, sendo perpendicular, tem inclinação +tfrac12.

Passo 3

Equação da reta tangente r em P=(-1,0) com coeficiente angular -2:
y - 0 = -2,(x + 1) Longrightarrow y = -2x - 2
Equação da reta normal s em Q=(1,0) com coeficiente angular tfrac12:
y - 0 = tfrac12,(x - 1) Longrightarrow y = tfrac12 x - tfrac12

Passo 4

Para encontrar rcap s, iguale as duas expressões de y:
-2x - 2 = tfrac12 x - tfrac12
Multiplicando por 2:
-4x - 4 = x - 1 Longrightarrow -5x = 3 Longrightarrow x = -tfrac35
Substituindo em y = -2x -2:
y = -2l(-tfrac35r) - 2 = tfrac65 - tfrac105 = -tfrac45

Resposta

l(-tfrac35,,-tfrac45r)

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