[4.0] Considere a função g definida por g(x)=e^(x-x^2)x^2+x+1.
(a) [2.0] O gráfico de g admite assíntota(s) horizontal(is)? Justifique!
(b) [2.0] Encontre a linearização L de g no ponto a=1.

Passo 1

O enunciado considera a função
g(x)=e^x-x^2x^2+x+1
e pede:
(a) verificar se há assíntota(s) horizontal(is), ou seja, calcular os limites de g(x) quando xtopminfty;
(b) encontrar a linearização de g em a=1, usando a fórmula
L(x)=g(a)+g'(a),(x-a)

Passo 2

Para assíntotas horizontais, estudamos
limxtopminftyg(x) =limxtopminftye^,x-x^2x^2+x+1
Como x^2 domina x, o expoente x-x^2 tende a -infty e e^x-x^2 decai mais rápido que qualquer polinômio cresce. Logo,
limxtopminftyg(x)=0
Isso significa que a única assíntota horizontal é
y=0

Passo 3

Para a linearização em a=1, calculamos g(1) e g'(1). Primeiro,
g(1)=e^1-1^21^2+1+1 =13
Em seguida, use o quociente
g'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2,
com u(x)=e^x-x^2 e v(x)=x^2+x+1. Temos
u'(x)=(1-2x),e^x-x^2, v'(x)=2x+1,
portanto
g'(x) =e^x-x^2, (1-2x)(x^2+x+1)-(2x+1)(x^2+x+1)^2
Em x=1 obtemos e^1-1=1 e
(1-2cdot1),(3)-(2cdot1+1) =-3-3=-6,
logo
g'(1)=-69=-23
Assim, a linearização é
L(x)=g(1)+g'(1),(x-1) =13-23(x-1)

Resposta

(a) A única assíntota horizontal é y=0.
(b) A linearização de g em a=1 é
L(x)=13-23(x-1)

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