(2,0 pontos) Mostre que a função f(x)=raizx é contínua à direita em 0 mas não é diferenciável à direita em 0 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
fcolon [0,infty)toR, f(x)=raizx
é contínua pela direita em 0 (isto é, limxto0^+f(x)=f(0)) mas não é diferenciável pela direita em 0 (isto é, o limite do quociente incremental pela direita não existe como número finito). Vamos usar as definições de continuidade lateral e de derivada lateral.

Passo 2

Para verificar a continuidade pela direita em 0, primeiro note que
f(0)=raiz0=0
Agora calculamos
limxto0^+f(x)=limxto0^+raizx
Como raizx é uma função contínua em todo [0,infty), temos
limxto0^+raizx=raiz0=0
Portanto
limxto0^+f(x)=0=f(0),
e isso mostra que f é contínua pela direita em 0.

Passo 3

Para verificar a diferenciabilidade pela direita em 0, consideramos o quociente incremental lateral:
f(x)-f(0)x-0 =raizx-0x =1raizx
Agora examinamos
limxto0^+1raizx
À medida que x se aproxima de 0 pela direita, raizxto0^+, logo 1/raizxto+infty. Esse limite não é um número real finito, mas diverge para +infty. Concluímos que o limite que define a derivada lateral pela direita não existe como número finito.

Resposta

A função f(x)=raizx é contínua à direita em 0, pois limxto0^+raizx=0=f(0), mas não é diferenciável à direita em 0, pois
limxto0^+raizx-raiz0x-0 =limxto0^+1raizx=+infty
não existe como número real finito.

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