(2,0 pontos) Mostre que a função
é contínua à direita em 0 mas não é diferenciável à direita em 0 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é contínua pela direita em
(isto é,
) mas não é diferenciável pela direita em
(isto é, o limite do quociente incremental pela direita não existe como número finito). Vamos usar as definições de continuidade lateral e de derivada lateral.
Passo 2
Para verificar a continuidade pela direita em
, primeiro note que
Agora calculamos
Como
é uma função contínua em todo
, temos
Portanto
e isso mostra que
é contínua pela direita em
.
Passo 3
Para verificar a diferenciabilidade pela direita em
, consideramos o quociente incremental lateral:
Agora examinamos
À medida que
se aproxima de
pela direita,
, logo
. Esse limite não é um número real finito, mas diverge para
. Concluímos que o limite que define a derivada lateral pela direita não existe como número finito.
Resposta
A função
é contínua à direita em
, pois
, mas não é diferenciável à direita em
, pois
não existe como número real finito.