[2,5] Um corante alimentar sofre degradação em meio aquoso segundo uma reação de segunda ordem em relação ao corante: Corante
Produtos. A constante de velocidade da reação é
. A concentração inicial do corante é
. a) Calcule a concentração do corante após 4 minutos. b) Determine o tempo necessário para que a concentração atinja
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e perguntas:
- Informação: a reação é de segunda ordem em relação ao corante, isto é, a velocidade satisfaz uma lei proporcional ao quadrado da concentração do corante.
- Informação: constante de velocidade
. - Informação: concentração inicial
. - Pergunta (a): calcular a concentração do corante após
minutos. - Pergunta (b): determinar o tempo necessário para que a concentração atinja
.
Passo 2
Montamos a equação diferencial que descreve a cinética para reação de segunda ordem (apenas um reagente): a velocidade de consumo do corante é proporcional ao quadrado da sua concentração. Escrevemos isso como
Aqui
é a concentração do corante em
,
é o tempo em
e
tem unidade
. Agora separamos variáveis para integrar:
Integramos ambos os lados, do instante inicial
com
até tempo
com
:
O integral à esquerda é simples:
. Avaliando os limites obtemos a forma integrada da lei de segunda ordem:
Dessa relação podemos isolar
ou
:
Passo 3
Preparação de unidades e conversões antes de calcular:
- A constante
está em , então o tempo deve ser usado em segundos. Convertendo minutos para segundos:
Passo 4
Resolvendo a parte (a): usar
com
,
e
.
Calculamos passo a passo:
Somando:
Então
Arredondando de forma razoável (dados fornecidos com duas casas significativas), podemos escrever
.
Passo 5
Resolvendo a parte (b): usar
com
.
Calculamos passo a passo:
Dividindo por
:
Convertendo para minutos, se for útil:
.
Resposta
a)
b) necessário para
b)