[2,5] Um corante alimentar sofre degradação em meio aquoso segundo uma reação de segunda ordem em relação ao corante: Corante \rightarrow Produtos. A constante de velocidade da reação é k=0,25 \mathrm{Lmol}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}. A concentração inicial do corante é [C]_{0}=0,80 \mathrm{molL}^{-1}. a) Calcule a concentração do corante após 4 minutos. b) Determine o tempo necessário para que a concentração atinja 0,20 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: a reação é de segunda ordem em relação ao corante, isto é, a velocidade satisfaz uma lei proporcional ao quadrado da concentração do corante.
  • Informação: constante de velocidade \,k=0,25\\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}.
  • Informação: concentração inicial \,[C]_0=0,80\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Pergunta (a): calcular a concentração do corante após 4 minutos.
  • Pergunta (b): determinar o tempo necessário para que a concentração atinja [C]=0,20\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 2

Montamos a equação diferencial que descreve a cinética para reação de segunda ordem (apenas um reagente): a velocidade de consumo do corante é proporcional ao quadrado da sua concentração. Escrevemos isso como
-\frac{d[C]}{dt}=k\,[C]^2.
Aqui [C] é a concentração do corante em \mathrm{mol\,L^{-1}}, t é o tempo em \mathrm{s} e k tem unidade \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}. Agora separamos variáveis para integrar:
-\frac{d[C]}{[C]^2}=k\,dt.
Integramos ambos os lados, do instante inicial t=0 com [C]=[C]_0 até tempo t com [C]=[C](t):
\int_{[C]_0}^{[C](t)} -\frac{dC}{C^2}=\int_0^{t} k\,dt.
O integral à esquerda é simples: \int -C^{-2}dC = C^{-1}. Avaliando os limites obtemos a forma integrada da lei de segunda ordem:
\frac{1}{[C](t)}-\frac{1}{[C]_0}=k\,t.
Dessa relação podemos isolar [C](t) ou t:
[C](t)=\frac{1}{k\,t+\dfrac{1}{[C]_0}} \quad\text{e}\quad t=\frac{\dfrac{1}{[C](t)}-\dfrac{1}{[C]_0}}{k}.

Passo 3

Preparação de unidades e conversões antes de calcular:
  • A constante k está em \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}, então o tempo deve ser usado em segundos. Convertendo 4 minutos para segundos:
4\\ \text{min}=4\cdot 60=240\\ \text{s}.

Passo 4

Resolvendo a parte (a): usar [C](t)=\dfrac{1}{k\,t+1/[C]_0} com t=240\\ \text{s}, k=0,25\\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}} e [C]_0=0,80\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Calculamos passo a passo:
\frac{1}{[C]_0}=\frac{1}{0,80}=1,25\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.
k\,t=0,25\cdot 240=60\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.
Somando:
k\,t+\frac{1}{[C]_0}=60+1,25=61,25\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.
Então
[C](240\\ \text{s})=\frac{1}{61,25}=0,0163265\ldots\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Arredondando de forma razoável (dados fornecidos com duas casas significativas), podemos escrever [C]=0,0163\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 5

Resolvendo a parte (b): usar t=\dfrac{1/[C]-1/[C]_0}{k} com [C]=0,20\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Calculamos passo a passo:
\frac{1}{[C]}=\frac{1}{0,20}=5,00\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.
\frac{1}{[C]_0}=\frac{1}{0,80}=1,25\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.
\frac{1}{[C]}-\frac{1}{[C]_0}=5,00-1,25=3,75\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.
Dividindo por k:
t=\frac{3,75}{0,25}=15\\ \text{s}.
Convertendo para minutos, se for útil: 15\\ \text{s}=0,25\\ \text{min}.

Resposta

a) [C](4\\ \text{min})=0,0163\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
b) t necessário para [C]=0,20\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}=15\\ \text{s}

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