[2,5] A vitamina C (ácido ascórbico) presente no suco de laranja se degrada com o tempo, especialmente quando exposta ao calor. Em um experimento, observou-se que a decomposição da vitamina C segue uma cinética de primeira ordem. A concentração inicial era de 0,80 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e, após 10 horas a 40^{\circ} \mathrm{C}, a concentração caiu para 0,40 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. a) Determine a constante de velocidade k da reação. b) Calcule o tempo de meia-vida da vitamina C nessa condição. c) Interprete o resultado em termos de conservação de alimentos.

Passo 1

O enunciado dá que a decomposição da vitamina C segue cinética de primeira ordem e fornece os dados experimentais: concentração inicial C_0 = 0,80\\ \mathrm{mol/L} e concentração após t=10\\ \mathrm{h} igual a C(10)=0,40\\ \mathrm{mol/L}. As perguntas são:
a) Determine a constante de velocidade k.
b) Calcule o tempo de meia-vida t_{1/2} nessas condições.
c) Interprete o resultado em termos de conservação de alimentos.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula que descreve uma reação de primeira ordem. A equação diferencial que modela a perda de concentração C(t) é
\frac{dC}{dt} = -k\,C,
onde C(t) é a concentração no tempo t e k>0 é a constante de velocidade (unidade: \mathrm{h}^{-1} se t está em horas). Essa equação significa que a taxa de variação da concentração é proporcional à própria concentração (mais concentrado, mais rápida a perda absoluta).
Resolvendo por separação de variáveis:
\frac{dC}{C} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados entre C_0 (em t=0) e C(t) (em tempo t):
\int_{C_0}^{C(t)} \frac{dC}{C} = \int_{0}^{t} -k\,dt.
As integrais dão
\ln\!\bigg(\frac{C(t)}{C_0}\bigg) = -k t.
Exponenciando, obtemos a forma padrão da lei de decaimento de primeira ordem:
C(t)=C_0\,e^{-k t}.
Aqui cada símbolo significa: C_0 concentração inicial, C(t) concentração no tempo t, k constante de velocidade e t tempo decorrido.

Passo 3

Agora usamos os dados experimentais para achar k. Substituímos C_0=0,80 e C(10)=0,40 na fórmula C(t)=C_0 e^{-k t}:
0,40 = 0,80\,e^{-k\cdot 10}.
Dividindo ambos os lados por 0,80,
\frac{0,40}{0,80} = e^{-10k}.
Simplificando a fração,
0,5 = e^{-10k}.
Tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
\ln(0,5) = -10k.
Sabemos que \ln(0,5) = -\ln 2, logo
- \ln 2 = -10k \quad\Rightarrow\quad k = \frac{\ln 2}{10}.
Agora uma avaliação numérica: \ln 2 \approx 0,693147\ldots. Portanto
k \approx \frac{0,693147}{10} \approx 0,0693147\\ \mathrm{h}^{-1}.
Arredondando de forma prática para três casas significativas:
k \approx 0,0693\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 4

Vamos achar a meia-vida t_{1/2}. Definição: o tempo de meia-vida é o tempo necessário para que a concentração fique metade da inicial, isto é C(t_{1/2}) = \dfrac{C_0}{2}. Usando C(t)=C_0 e^{-k t},
\frac{C_0}{2} = C_0 e^{-k t_{1/2}}.
Cancelando C_0 (observação importante: para reações de primeira ordem o tempo de meia-vida não depende de C_0),
\frac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}}.
Tomando ln,
\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = -k t_{1/2} \quad\Rightarrow\quad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Substituindo o valor de k que encontramos ( k=\dfrac{\ln 2}{10}),
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\ln 2 / 10} = 10\\ \mathrm{h}.
Ou, usando diretamente os dados observacionais: a concentração caiu de 0,80 para 0,40 em 10\\ \mathrm{h}, então o tempo para reduzir à metade é 10\\ \mathrm{h}.

Passo 5

Interpretação prática (conservação de alimentos) — explicação didática:
  • O valor k\approx 0,0693\\ \mathrm{h}^{-1} quantifica a velocidade de degradação da vitamina C a 40^\circ\mathrm{C}. Quanto maior k, mais rápida a perda.
  • A meia-vida t_{1/2}=10\\ \mathrm{h} significa que, mantendo a temperatura em 40^\circ\mathrm{C}, a cada 10 horas a quantidade de vitamina C disponível é reduzida pela metade. Depois de n meias-vidas sobra a fração (1/2)^n. Por exemplo, em 30\\ \mathrm{h} (três meias-vidas) restaria apenas (1/2)^3 = 1/8 = 12{,}5\% da vitamina C inicial.
  • Consequência prática: temperaturas elevadas aceleram a perda de vitamina C; para conservar melhor o suco (manter nutrientes) convém armazená‑lo em temperaturas mais baixas, proteger da luz e do oxigênio e reduzir o tempo de exposição ao calor. Essas medidas diminuem k e aumentam a meia-vida, preservando a qualidade nutricional por mais tempo.
  • Fica a dica motivadora: pequenas mudanças no armazenamento (ex.: refrigeração) fazem grande diferença porque o processo é exponencial — cada redução em k alonga consideravelmente o tempo até a perda significativa de vitamina C.

Resposta

a) k \approx 0,0693\\ \mathrm{h}^{-1}.
b) t_{1/2} = 10\\ \mathrm{h}.
c) A cada 10\\ \mathrm{h} a 40^\circ\mathrm{C} a vitamina C reduz à metade; isso mostra que calor acelera a perda (maior k), portanto conservar em temperatura baixa, evitar luz/oxigênio e reduzir tempo de exposição ao calor aumenta a vida útil nutricional do suco.

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