[2,5] Um escoamento uniforme, com altura dágua igual a 1,20 \mathrm{~m}, ocorre em um canal retangular de 5,0 \mathrm{~m} de largura com vazão de 13,0 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Em uma determinada seção um degrau de 0,35 \mathrm{~m} de altura é construído no fundo co canal e nesta mesma seção a largura do canal é reduzida para 4,0 \mathrm{~m}. Desprezando-se a perda de carga na transição, determine: (a) o tipo do canal, a classificação do escoamento uniforme e a sua respectiva energia especifica (m); (b) as alturas d’agua (m) imediatamente antes, sobre e logo depois do degrau; (c) a possibilidade de ocorrência de ressalto hidráulico no canal e, em caso afirmativo, calcule as respectivas alturas conjugadas (m) e a perda de energia (m) no mesmo; (d) o perfil da linha d’água, iniciando e terminando na condição de escoamento uniforme, identificando as curvas de remanso existentes e as alturas d’água significativas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados extraídos do enunciado:
  • Largura inicial do canal: b_1=5{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Altura d’água do escoamento inicial (escoamento uniforme): d_{1,\,\text{init}}=1{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Vazão: Q=13{,}0\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Em uma seção foi construído um degrau no fundo com altura h=0{,}35\\ \mathrm{m} (o fundo sobe 0{,}35\\ \mathrm{m} nessa seção).
  • Na mesma seção a largura passa a ser b_2=4{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Despreza-se perda de carga na transição (ou seja, conservação de energia total entre pontos imediatamente antes e depois do degrau).
O enunciado pede:
(a) o tipo do canal, a classificação do escoamento uniforme e a energia específica correspondente (m);
(b) as alturas d’água imediatamente antes, sobre e logo depois do degrau;
(c) verificar se pode ocorrer ressalto hidráulico (hydraulic jump) no canal e, se sim, calcular as alturas conjugadas e a perda de energia no ressalto;
(d) descrever o perfil da linha d’água desde uma condição uniforme inicial até outra condição uniforme final, identificar as curvas de remanso e as alturas d’água importantes.
Constantes e notação que vou usar:
  • aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2};
  • área de seção retangular: A=b\,d;
  • velocidade média: V=Q/A;
  • energia específica (medida acima do fundo): E=d+\dfrac{V^2}{2g};
  • número de Froude: \mathrm{Fr}=\dfrac{V}{\sqrt{g\,d}}.
    A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Calcular área, velocidade média, energia específica e classificar o escoamento na seção inicial (antes da obra).
Área na seção inicial:
A_1 = b_1\,d_{1,\,\text{init}} = 5{,}0\cdot 1{,}20 = 6{,}00\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média inicial:
V_1 = \dfrac{Q}{A_1} = \dfrac{13{,}0}{6{,}00} = 2{,}166\overline{6}\\ \mathrm{m/s}\\ (\approx 2{,}167\\ \mathrm{m/s}).
Energia específica inicial (acima do fundo):
E_1 = d_{1,\,\text{init}} + \dfrac{V_1^2}{2g}.
Calculemos o termo cinético:
\dfrac{V_1^2}{2g} = \dfrac{(2{,}1667)^2}{2\cdot 9{,}81} = \dfrac{4{,}6944}{19{,}62} \approx 0{,}2394\\ \mathrm{m}.
Logo
E_1 \approx 1{,}20 + 0{,}2394 = 1{,}4394\\ \mathrm{m}.
Número de Froude inicial:
\mathrm{Fr}_1 = \dfrac{V_1}{\sqrt{g\,d_{1,\,\text{init}}}} = \dfrac{2{,}1667}{\sqrt{9{,}81\cdot 1{,}20}} = \dfrac{2{,}1667}{3{,}431} \approx 0{,}632.
Interpretação: \mathrm{Fr}_1<1 ⇒ escoamento subcrítico (escoamento tranquilo).
Conclusão deste passo (parte da letra (a)):
  • Tipo de canal: canal aberto retangular.
  • Classificação do escoamento uniforme inicial: subcrítico (tranquilo).
  • Energia específica inicial: E_1\approx 1{,}439\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Analisar o efeito do degrau + redução de largura usando conservação de energia (sem perda) e verificar se existe solução física para a profundidade imediatamente sobre o degrau.
Conservação de energia total (altura do fundo z incluída): H=z+E é contínua se não há perda. Tomando o fundo upstream como referência z_1=0 e o fundo na seção do degrau com elevação z_2=h=0{,}35\\ \mathrm{m}, temos H_1=z_1+E_1=E_1. Portanto a energia específica disponível imediatamente após a subida do fundo (medida acima do novo fundo) é
E_{2,\text{disponível}} = H_1 - z_2 = E_1 - z_2 \approx 1{,}4394 - 0{,}35 = 1{,}0894\\ \mathrm{m}.í
Para que exista uma profundidade real d_2 em um canal de largura b_2 com essa energia, deve haver solução positiva de
E_{2,\text{disponível}} = d_2 + \dfrac{V_2^2}{2g} \quad\text{com}\quad V_2=\dfrac{Q}{b_2 d_2}.í
Definindo K_2=\dfrac{Q^2}{2g b_2^2}, a equação explícita é
d_2 + \dfrac{K_2}{d_2^2} = E_{2,\text{disponível}}.í
Calculemos K_2:
K_2=\dfrac{13^2}{2\cdot 9{,}81\cdot 4^2} = \dfrac{169}{19{,}62\cdot 16} = \dfrac{169}{313{,}92}\approx 0{,}5387\\ \mathrm{m^3}.
Então procuramos d_2 tal que d_2 + 0{,}5387/d_2^2 = 1{,}0894. Se tentarmos achar raiz numérica, observamos que a função f(d)=d+0{,}5387/d^2 tem um mínimo (correspondente à energia crítica) e, substituindo valores, percebemos que não há solução real positiva: isso indica que a energia disponível no novo trecho é menor que a energia crítica mínima exigida para transportar Q naquela largura.
Para demonstrar isso de forma direta, calculemos a profundidade crítica d_{c2} na largura b_2. Para canal retangular a profundidade crítica satisfaz
d_{c2}^3 = \dfrac{Q^2}{g\,b_2^2}.
Calcule:
\dfrac{Q^2}{g b_2^2} = \dfrac{169}{9{,}81\cdot 16} = \dfrac{169}{156{,}96}\approx 1{,}0770,
logo
d_{c2} = (1{,}0770)^{1/3} \approx 1{,}0256\\ \mathrm{m}.
A energia específica mínima (energia crítica) nessa seção é
E_{c2} = \dfrac{3}{2}\,d_{c2} \quad\text{(para retangular, }E_c=d_c+\tfrac12 d_c =\tfrac32 d_c\text{)},
portanto
E_{c2} = 1{,}5\cdot 1{,}0256 \approx 1{,}5384\\ \mathrm{m}.
Comparando com E_{2,\text{disponível}}=1{,}0894\\ \mathrm{m}í, vemos que
E_{2,\text{disponível}} < E_{c2}.í
Isto significa que, com a energia que chega do trecho a montante, é impossível estabelecer um escoamento na seção contraída com profundidade real positiva sem que alguma outra coisa mude: geometria cria um “controle” onde a profundidade naquela seção tende a assumir o valor crítico e o escoamento a montante precisa se ajustar. Em palavras: a energia que chega é insuficiente para sustentar um estado uniforme na nova seção; portanto o degrau + contração atua como um estrangulamento (control) e provoca um remanso a montante (a cota d’água sobe a montante) até que a energia disponível sobre o degrau atinja exatamente a energia crítica.
Resumo deste passo:
  • Não existe solução de profundidade na seção contraída com a energia original: E_{2,\text{disponível}}<E_{c2}í.
  • Consequência física: o degrau/contração passa a ser uma seção de controle; a profundidade sobre o degrau tende ao valor crítico d_{c2} e a montante formará um remanso (aumenta a profundidade até que a energia total permitida gere exatamente E_{c2} sobre o degrau).

Passo 4

Determinar a profundidade que se estabelece a montante (imediatamente antes do degrau) quando o sistema ajusta até que a profundidade sobre o degrau seja crítica. Calcular então as profundidades imediatamente antes, sobre e logo depois do degrau.
Como argumentado, o escoamento ajusta-se de modo que, na seção do degrau (largura b_2 e fundo elevado z_2), a profundidade seja crítica:
d_{\text{sobre}} = d_{c2} \approx 1{,}0256\\ \mathrm{m}.
A energia total H que corresponde a isso (medida em relação ao fundo upstream z_1=0) é
H = z_2 + E_{c2} = 0{,}35 + 1{,}5384 = 1{,}8884\\ \mathrm{m}.
Portanto a energia específica a montante (acima do fundo montante) necessária é
E_{1,\text{novo}} = H - z_1 = 1{,}8884\\ \mathrm{m}.
Essa energia a montante traduz-se numa nova profundidade a montante d_{1,\text{novo}} que satisfaz (continuidade e energia):
d_{1,\text{novo}} + \dfrac{K_1}{d_{1,\text{novo}}^2} = E_{1,\text{novo}}, \quad\text{onde } K_1=\dfrac{Q^2}{2g b_1^2}.
Calculemos K_1:
K_1=\dfrac{169}{2\cdot 9{,}81\cdot 5^2}=\dfrac{169}{19{,}62\cdot 25}=\dfrac{169}{490{,}5}\approx 0{,}3447.
Logo precisamos resolver numericamente
d_{1,\text{novo}} + \dfrac{0{,}3447}{d_{1,\text{novo}}^2} = 1{,}8884.
Resolvendo por tentativa/iteração (mostro rapidamente a busca numérica):
  • para d=1{,}20 a expressão dá valor menor que 1{,}8884 (isto é, não satisfaz);
  • após iterações chega-se a d_{1,\text{novo}}\approx 1{,}778\\ \mathrm{m} (verificação numérica: \;1{,}778 + 0{,}3447/1{,}778^2 \approx 1{,}8884).
Portanto:
  • profundidade imediatamente antes do degrau (após ajuste do escoamento): \;d_{\text{antes}}\approx 1{,}778\\ \mathrm{m}.
  • profundidade “sobre” o degrau (na seção contraída, control): \;d_{\text{sobre}} = d_{c2}\approx 1{,}0256\\ \mathrm{m}.
  • profundidade logo depois do degrau: como a contração e o degrau ocorrem na mesma seção considerada, a profundidade imediatamente logo depois também será igual à profundidade crítica controlada (ou seja, \;d_{\text{depois}}\approx 1{,}0256\\ \mathrm{m}), até que o escoamento a jusante evolua conforme o declive e as condições a jusante.
Resumo numérico desse passo:
d_{\text{antes}} \approx 1{,}778\\ \mathrm{m},\qquad d_{\text{sobre}} \approx d_{\text{depois}} \approx 1{,}0256\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Verificação rápida dos números de Froude nas regiões importantes e interpretação física.
  • Montante (após ajuste): velocidade nova montante
V_{1,\text{novo}}=\dfrac{Q}{b_1 d_{1,\text{novo}}}=\dfrac{13}{5\cdot 1{,}778}\approx 1{,}463\\ \mathrm{m/s}.
Froude montante:
\mathrm{Fr}_{1,\text{novo}} = \dfrac{V_{1,\text{novo}}}{\sqrt{g\,d_{1,\text{novo}}}} \approx \dfrac{1{,}463}{\sqrt{9{,}81\cdot 1{,}778}} \approx 0{,}35\quad(\text{subcrítico}).í
  • Na seção do degrau (control): por definição d=d_c e \mathrm{Fr}=1 (crítico).
Interpretação física: o degrau + contração impõem uma garganta crítica; a montante forma-se um remanso (elevação de nível) até que o fluxo sobre o degrau atinja condição crítica. Depois do degrau o escoamento parte crítico e, dependendo do declive e condições a jusante, pode acelerar (ficar supercrítico) ou permanecer crítico/transitório.

Passo 6

Possibilidade de ocorrência de ressalto hidráulico e cálculos associados.
Relembrando: um ressalto hidráulico (hydraulic jump) é uma transição de um escoamento supercrítico para um escoamento subcrítico, com perda de energia e conservação do momento. Para que haja ressalto é necessário que exista uma região supercrítica a montante do ressalto que depois salte para uma profundidade conjugada subcrítica.
No nosso caso imediato:
  • a montante do degrau o escoamento ajustado ficou subcrítico ( \mathrm{Fr}\approx 0{,}35);
  • sobre e logo após o degrau a seção é controlada e tem profundidade crítica ( \mathrm{Fr}=1).
Conclusão: não existe um escoamento supercrítico imediatamente após o degrau que pudesse gerar um ressalto logo ali. Portanto NÂO ocorre ressalto hidráulico na própria seção do degrau nas condições consideradas (controle crítico). Um ressalto só poderia ocorrer mais a jusante se o escoamento, por efeito do declive do canal a jusante, acelerasse fortemente para estado supercrítico e depois encontrasse trechos de escoamento subcrítico que forçassem o salto — mas o enunciado não fornece declive nem condições a jusante para afirmar isso. Com os dados disponíveis e desprezando perdas na transição, a situação estabelecida (controle crítico sobre o degrau, remanso montante) não produz ressalto na própria seção.
Portanto, para a questão (c):
  • Possibilidade de ressalto no canal com os dados fornecidos: não ocorre (não há região supercrítica seguida de subcrítica que gere o ressalto nas vizinhanças do degrau).
  • Consequentemente não há alturas conjugadas nem perda de energia a calcular com base nos dados fornecidos.
(Se fosse solicitado calcular um ressalto hipotético, eu usaria a relação de conjugadas para canal retangular:
\dfrac{y_2}{y_1} = \dfrac{1}{2}\Big(\sqrt{1+8\,\mathrm{Fr}_1^2}-1\Big),
onde y_1 é a profundidade supercrítica a montante do ressalto e \mathrm{Fr}_1 é o Froude correspondente; perda de energia no ressalto vem da diferença entre energia específica antes e depois.)

Passo 7

Perfil da linha d’água (leitura qualitativa) — letra (d).
Resumo do que acontece ao seguir a linha d’água desde montante uniforme até jusante uniforme, com as alturas numéricas significativas:
  • Trecho bem a montante inicial (antes da obra): situação inicial era escoamento uniforme com profundidade d=1{,}20\\ \mathrm{m}. Após construção do degrau, o nível a montante sobe formando uma curva de remanso (curva M2), porque o escoamento é subcrítico e está encontrando um obstáculo que eleva o nível. Essa curva M2 conecta a profundidade uniforme inicial 1{,}20\\ \mathrm{m} a uma profundidade mais elevada próxima do degrau.
  • Imediatamente antes do degrau estabelece-se a profundidade remansada d_{\text{antes}}\approx 1{,}778\\ \mathrm{m}.
  • Na própria seção do degrau (onde o fundo sobe e a largura reduz para 4{,}0\\ \mathrm{m}) existe um controle crítico: a profundidade sobre o degrau é crítica, d_{\text{sobre}}=d_{c2}\approx 1{,}0256\\ \mathrm{m}. Assim ocorre uma queda relativamente pronunciada do nível d’água do remanso montante até a profundidade crítica sobre o degrau.
  • Logo após o degrau o escoamento parte crítico; a partir daí o perfil a jusante dependerá da declividade do canal a jusante:
    • Se o canal a jusante for plano ou de declive muito suave (situação típica), a profundidade crítica tende a acelerar para supercrítica e poderá existir um trecho supercrítico seguido eventualmente de um ressalto a jusante onde o escoamento volte a subcrítico (mas, como dito, isso depende do declive e das condições a jusante e não pode ser afirmado sem esses dados).
    • Se a jusante existir um leito que obrigue retorno a profundidade subcrítica, ocorreria um ressalto em algum ponto jusante; caso contrário, o escoamento pode permanecer crítico/supercrítico por algum trecho.
Alturas d’água significativas (resumo):
  • profundidade inicial uniforme: \;1{,}20\\ \mathrm{m};
  • profundidade remansada montante (após ajuste): \;1{,}778\\ \mathrm{m} (M2, remanso);
  • profundidade crítica sobre o degrau: \;1{,}0256\\ \mathrm{m}.
Observação final e incentivo: estas são as conclusões coerentes com a conservação de energia sem perdas e com a física dos escoamentos em seção contraída. O passo chave é reconhecer que E_{2,\text{disponível}}<E_{c2}í faz do degrau uma seção de controle e provoca remanso a montante. Se você quiser, eu faço um esboço gráfico do perfil (linha d’água) e posso também calcular um cenário hipotético com ressalto a jusante caso sejam fornecidos dados do declive ou da cota/jusante final — tu escolhe que caso quer ver detalhado!

Resposta

(a) Canal retangular; escoamento uniforme inicial subcrítico (tranquilo); energia específica E_1\approx 1{,}439\\ \mathrm{m}.
(b) Alturas d’água imediatamente:
  • antes do degrau (após ajuste): d_{\text{antes}}\approx 1{,}778\\ \mathrm{m};
  • sobre o degrau: d_{\text{sobre}}\approx 1{,}0256\\ \mathrm{m};
  • logo depois do degrau: d_{\text{depois}}\approx 1{,}0256\\ \mathrm{m}.
(c) Com os dados fornecidos (sem perdas na transição e sem informação do declive jusante) NÃO ocorre ressalto hidráulico na própria seção do degrau (não há trecho supercrítico imediatamente que gere o ressalto). Logo, não há alturas conjugadas nem perda de energia a calcular para um ressalto neste ponto com os dados dados.
(d) Perfil da linha d’água (qualitativo): a montante forma-se uma curva de remanso do tipo M2 que eleva o nível de 1{,}20\\ \mathrm{m} até \approx 1{,}778\\ \mathrm{m} imediatamente antes do degrau; sobre o degrau existe controle crítico com profundidade \approx 1{,}0256\\ \mathrm{m}; a partir daí o comportamento a jusante (aceleração para supercrítico ou retorno a subcrítico com ressalto) depende do declive e das condições a jusante, não especificadas.

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