[2,5] Um escoamento uniforme, com altura dágua igual a
, ocorre em um canal retangular de
de largura com vazão de
. Em uma determinada seção um degrau de
de altura é construído no fundo co canal e nesta mesma seção a largura do canal é reduzida para
. Desprezando-se a perda de carga na transição, determine: (a) o tipo do canal, a classificação do escoamento uniforme e a sua respectiva energia especifica (m); (b) as alturas d’agua (m) imediatamente antes, sobre e logo depois do degrau; (c) a possibilidade de ocorrência de ressalto hidráulico no canal e, em caso afirmativo, calcule as respectivas alturas conjugadas (m) e a perda de energia (m) no mesmo; (d) o perfil da linha d’água, iniciando e terminando na condição de escoamento uniforme, identificando as curvas de remanso existentes e as alturas d’água significativas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados extraídos do enunciado:
- Largura inicial do canal:
. - Altura d’água do escoamento inicial (escoamento uniforme):
. - Vazão:
. - Em uma seção foi construído um degrau no fundo com altura
(o fundo sobe nessa seção). - Na mesma seção a largura passa a ser
. - Despreza-se perda de carga na transição (ou seja, conservação de energia total entre pontos imediatamente antes e depois do degrau).
O enunciado pede:
(a) o tipo do canal, a classificação do escoamento uniforme e a energia específica correspondente (m);
(b) as alturas d’água imediatamente antes, sobre e logo depois do degrau;
(c) verificar se pode ocorrer ressalto hidráulico (hydraulic jump) no canal e, se sim, calcular as alturas conjugadas e a perda de energia no ressalto;
(d) descrever o perfil da linha d’água desde uma condição uniforme inicial até outra condição uniforme final, identificar as curvas de remanso e as alturas d’água importantes.
(a) o tipo do canal, a classificação do escoamento uniforme e a energia específica correspondente (m);
(b) as alturas d’água imediatamente antes, sobre e logo depois do degrau;
(c) verificar se pode ocorrer ressalto hidráulico (hydraulic jump) no canal e, se sim, calcular as alturas conjugadas e a perda de energia no ressalto;
(d) descrever o perfil da linha d’água desde uma condição uniforme inicial até outra condição uniforme final, identificar as curvas de remanso e as alturas d’água importantes.
Constantes e notação que vou usar:
- aceleração da gravidade:
; - área de seção retangular:
; - velocidade média:
; - energia específica (medida acima do fundo):
; - número de Froude:
.
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Calcular área, velocidade média, energia específica e classificar o escoamento na seção inicial (antes da obra).
Área na seção inicial:
Velocidade média inicial:
Energia específica inicial (acima do fundo):
Calculemos o termo cinético:
Logo
Número de Froude inicial:
Interpretação:
⇒ escoamento subcrítico (escoamento tranquilo).
Conclusão deste passo (parte da letra (a)):
- Tipo de canal: canal aberto retangular.
- Classificação do escoamento uniforme inicial: subcrítico (tranquilo).
- Energia específica inicial:
.
Passo 3
Analisar o efeito do degrau + redução de largura usando conservação de energia (sem perda) e verificar se existe solução física para a profundidade imediatamente sobre o degrau.
Conservação de energia total (altura do fundo
incluída):
é contínua se não há perda. Tomando o fundo upstream como referência
e o fundo na seção do degrau com elevação
, temos
. Portanto a energia específica disponível imediatamente após a subida do fundo (medida acima do novo fundo) é
Para que exista uma profundidade real
em um canal de largura
com essa energia, deve haver solução positiva de
Definindo
, a equação explícita é
Calculemos
:
Então procuramos
tal que
. Se tentarmos achar raiz numérica, observamos que a função
tem um mínimo (correspondente à energia crítica) e, substituindo valores, percebemos que não há solução real positiva: isso indica que a energia disponível no novo trecho é menor que a energia crítica mínima exigida para transportar
naquela largura.
Para demonstrar isso de forma direta, calculemos a profundidade crítica
na largura
. Para canal retangular a profundidade crítica satisfaz
Calcule:
logo
A energia específica mínima (energia crítica) nessa seção é
portanto
Comparando com
, vemos que
Isto significa que, com a energia que chega do trecho a montante, é impossível estabelecer um escoamento na seção contraída com profundidade real positiva sem que alguma outra coisa mude: geometria cria um “controle” onde a profundidade naquela seção tende a assumir o valor crítico e o escoamento a montante precisa se ajustar. Em palavras: a energia que chega é insuficiente para sustentar um estado uniforme na nova seção; portanto o degrau + contração atua como um estrangulamento (control) e provoca um remanso a montante (a cota d’água sobe a montante) até que a energia disponível sobre o degrau atinja exatamente a energia crítica.
Resumo deste passo:
- Não existe solução de profundidade na seção contraída com a energia original:
. - Consequência física: o degrau/contração passa a ser uma seção de controle; a profundidade sobre o degrau tende ao valor crítico
e a montante formará um remanso (aumenta a profundidade até que a energia total permitida gere exatamente sobre o degrau).
Passo 4
Determinar a profundidade que se estabelece a montante (imediatamente antes do degrau) quando o sistema ajusta até que a profundidade sobre o degrau seja crítica. Calcular então as profundidades imediatamente antes, sobre e logo depois do degrau.
Como argumentado, o escoamento ajusta-se de modo que, na seção do degrau (largura
e fundo elevado
), a profundidade seja crítica:
A energia total
que corresponde a isso (medida em relação ao fundo upstream
) é
Portanto a energia específica a montante (acima do fundo montante) necessária é
Essa energia a montante traduz-se numa nova profundidade a montante
que satisfaz (continuidade e energia):
Calculemos
:
Logo precisamos resolver numericamente
Resolvendo por tentativa/iteração (mostro rapidamente a busca numérica):
- para
a expressão dá valor menor que (isto é, não satisfaz); - após iterações chega-se a
(verificação numérica: ).
Portanto:
- profundidade imediatamente antes do degrau (após ajuste do escoamento):
- profundidade “sobre” o degrau (na seção contraída, control):
- profundidade logo depois do degrau: como a contração e o degrau ocorrem na mesma seção considerada, a profundidade imediatamente logo depois também será igual à profundidade crítica controlada (ou seja,
), até que o escoamento a jusante evolua conforme o declive e as condições a jusante.
Resumo numérico desse passo:
Passo 5
Verificação rápida dos números de Froude nas regiões importantes e interpretação física.
- Montante (após ajuste): velocidade nova montante
Froude montante:
- Na seção do degrau (control): por definição
e (crítico).
Interpretação física: o degrau + contração impõem uma garganta crítica; a montante forma-se um remanso (elevação de nível) até que o fluxo sobre o degrau atinja condição crítica. Depois do degrau o escoamento parte crítico e, dependendo do declive e condições a jusante, pode acelerar (ficar supercrítico) ou permanecer crítico/transitório.
Passo 6
Possibilidade de ocorrência de ressalto hidráulico e cálculos associados.
Relembrando: um ressalto hidráulico (hydraulic jump) é uma transição de um escoamento supercrítico para um escoamento subcrítico, com perda de energia e conservação do momento. Para que haja ressalto é necessário que exista uma região supercrítica a montante do ressalto que depois salte para uma profundidade conjugada subcrítica.
No nosso caso imediato:
- a montante do degrau o escoamento ajustado ficou subcrítico (
); - sobre e logo após o degrau a seção é controlada e tem profundidade crítica (
).
Conclusão: não existe um escoamento supercrítico imediatamente após o degrau que pudesse gerar um ressalto logo ali. Portanto NÂO ocorre ressalto hidráulico na própria seção do degrau nas condições consideradas (controle crítico). Um ressalto só poderia ocorrer mais a jusante se o escoamento, por efeito do declive do canal a jusante, acelerasse fortemente para estado supercrítico e depois encontrasse trechos de escoamento subcrítico que forçassem o salto — mas o enunciado não fornece declive nem condições a jusante para afirmar isso. Com os dados disponíveis e desprezando perdas na transição, a situação estabelecida (controle crítico sobre o degrau, remanso montante) não produz ressalto na própria seção.
Portanto, para a questão (c):
- Possibilidade de ressalto no canal com os dados fornecidos: não ocorre (não há região supercrítica seguida de subcrítica que gere o ressalto nas vizinhanças do degrau).
- Consequentemente não há alturas conjugadas nem perda de energia a calcular com base nos dados fornecidos.
(Se fosse solicitado calcular um ressalto hipotético, eu usaria a relação de conjugadas para canal retangular:
onde
é a profundidade supercrítica a montante do ressalto e
é o Froude correspondente; perda de energia no ressalto vem da diferença entre energia específica antes e depois.)
Passo 7
Perfil da linha d’água (leitura qualitativa) — letra (d).
Resumo do que acontece ao seguir a linha d’água desde montante uniforme até jusante uniforme, com as alturas numéricas significativas:
-
Trecho bem a montante inicial (antes da obra): situação inicial era escoamento uniforme com profundidade
. Após construção do degrau, o nível a montante sobe formando uma curva de remanso (curva M2), porque o escoamento é subcrítico e está encontrando um obstáculo que eleva o nível. Essa curva M2 conecta a profundidade uniforme inicial a uma profundidade mais elevada próxima do degrau. -
Imediatamente antes do degrau estabelece-se a profundidade remansada
. -
Na própria seção do degrau (onde o fundo sobe e a largura reduz para
) existe um controle crítico: a profundidade sobre o degrau é crítica, . Assim ocorre uma queda relativamente pronunciada do nível d’água do remanso montante até a profundidade crítica sobre o degrau. -
Logo após o degrau o escoamento parte crítico; a partir daí o perfil a jusante dependerá da declividade do canal a jusante:
- Se o canal a jusante for plano ou de declive muito suave (situação típica), a profundidade crítica tende a acelerar para supercrítica e poderá existir um trecho supercrítico seguido eventualmente de um ressalto a jusante onde o escoamento volte a subcrítico (mas, como dito, isso depende do declive e das condições a jusante e não pode ser afirmado sem esses dados).
- Se a jusante existir um leito que obrigue retorno a profundidade subcrítica, ocorreria um ressalto em algum ponto jusante; caso contrário, o escoamento pode permanecer crítico/supercrítico por algum trecho.
Alturas d’água significativas (resumo):
- profundidade inicial uniforme:
; - profundidade remansada montante (após ajuste):
(M2, remanso); - profundidade crítica sobre o degrau:
.
Observação final e incentivo: estas são as conclusões coerentes com a conservação de energia sem perdas e com a física dos escoamentos em seção contraída. O passo chave é reconhecer que
faz do degrau uma seção de controle e provoca remanso a montante. Se você quiser, eu faço um esboço gráfico do perfil (linha d’água) e posso também calcular um cenário hipotético com ressalto a jusante caso sejam fornecidos dados do declive ou da cota/jusante final — tu escolhe que caso quer ver detalhado!
Resposta
(a) Canal retangular; escoamento uniforme inicial subcrítico (tranquilo); energia específica
(b) Alturas d’água imediatamente:
- antes do degrau (após ajuste):
; - sobre o degrau:
; - logo depois do degrau:
(c) Com os dados fornecidos (sem perdas na transição e sem informação do declive jusante) NÃO ocorre ressalto hidráulico na própria seção do degrau (não há trecho supercrítico imediatamente que gere o ressalto). Logo, não há alturas conjugadas nem perda de energia a calcular para um ressalto neste ponto com os dados dados.
(d) Perfil da linha d’água (qualitativo): a montante forma-se uma curva de remanso do tipo M2 que eleva o nível de
até
imediatamente antes do degrau; sobre o degrau existe controle crítico com profundidade
; a partir daí o comportamento a jusante (aceleração para supercrítico ou retorno a subcrítico com ressalto) depende do declive e das condições a jusante, não especificadas.