Um projétil de 10 \mathrm{~g}(=0,010 \mathrm{~kg}) é disparado contra um alvo de 1,2 \mathrm{~kg} que está sobre uma mesa sem atrito. O projétil atravessa o alvo e sai com velocidade de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} pelo outro lado. O alvo adquire a velocidade de 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a velocidade inicial do projétil.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Massa do projétil: m_p=0,010\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do alvo: m_t=1,2\\ \mathrm{kg}.
  • Depois da colisão o projétil sai com velocidade: v'_p=100\\ \mathrm{m/s} (pela frente do alvo).
  • Depois da colisão o alvo adquire velocidade: v'_t=4,0\\ \mathrm{m/s}.
  • O alvo está sobre uma mesa sem atrito (ou seja, não há força horizontal de atrito).
  • O que se pede: a velocidade inicial do projétil, isto é v_0 (antes de atingir o alvo).

Passo 2

Conceito principal que vamos usar: momento linear (ou quantidade de movimento) e sua conservação.
  • Definição: o momento linear (quantidade de movimento) de um corpo é dado por \mathbf{p}=m\mathbf{v}, onde m é a massa e \mathbf{v} a velocidade do corpo. Aqui trabalhamos só na direção horizontal, então trataremos p=mv.
  • Princípio usado: se o sistema (projétil + alvo) não recebe impulso externo horizontal significativo durante a interação, a soma dos momentos iniciais é igual à soma dos momentos finais. Em símbolos:
\text{soma dos momentos iniciais}=\text{soma dos momentos finais}.
  • Por que vale aqui: a mesa é sem atrito, logo não há força horizontal externa significativa durante o curto intervalo da colisão; portanto, o momento linear horizontal do sistema é conservado.

Passo 3

Escrever a equação de conservação do momento para o sistema projétil+alvo, tomando como positivo o sentido do movimento inicial do projétil.
  • Momento inicial total: só o projétil está em movimento antes do impacto, então
p_{\text{inicial}}=m_p v_0.
  • Momento final total: ambos (projétil e alvo) movem-se na mesma direção depois,
p_{\text{final}}=m_p v'_p + m_t v'_t.
  • Igualando:
m_p v_0 = m_p v'_p + m_t v'_t.
Aqui cada símbolo significa:
  • m_p: massa do projétil ( 0,010\\ \mathrm{kg}),
  • v_0: velocidade inicial do projétil (incógnita),
  • v'_p: velocidade do projétil após atravessar o alvo ( 100\\ \mathrm{m/s}),
  • m_t: massa do alvo ( 1,2\\ \mathrm{kg}),
  • v'_t: velocidade do alvo após impacto ( 4,0\\ \mathrm{m/s}).

Passo 4

Resolver a equação para v_0.
Partindo de
m_p v_0 = m_p v'_p + m_t v'_t,
isolamos v_0:
v_0 = v'_p + \frac{m_t}{m_p}\,v'_t.
Agora substituímos os valores numéricos dados:
\frac{m_t}{m_p}=\frac{1,2}{0,010}.
Calcular essa razão sem calculadora: dividir por 0,010 é multiplicar por 100, logo
\frac{1,2}{0,010}=1,2\times100=120.

Passo 5

Continuar a substituição e fazer as contas finais (passo a passo, sem pular nada):
v_0 = v'_p + \frac{m_t}{m_p}\,v'_t = 100 + 120 \times 4,0.
Calcule a multiplicação:
120 \times 4,0 = 480.
Some:
v_0 = 100 + 480 = 580\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Comentários didáticos e intuitivos (úteis para a prova):
  • A razão pela qual usamos conservação do momento e não conservação da energia cinética é que a colisão em que o projétil atravessa o alvo é, em geral, dissipa ou transfere energia interna (não é perfeitamente elástica). Assim, a energia cinética total não precisa ser conservada, mas o momento linear sí é (na ausência de forças externas horizontais).
  • É importante sempre checar unidades e o sinal (aqui todos os movimentos estão no mesmo sentido, então sinais positivos).
  • Estratégia prática em provas: escreva sempre a equação de momento antes de qualquer álgebra e defina claramente o sentido positivo.

Resposta

v_0 = 580\\ \mathrm{m/s}

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