Uma tubulação de agua fria é composta por tubos de PVC com diâmetro nominal de 400 mm e espessura de 17,2 \mathrm{~mm}. A máxima pressão de operação é de 1 MPa . A tubulação tem uma extensão de 4500 m e a velocidade de escoamento é de 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A carga no inicio da tubulação é de 60 m . Estime a subpressão e a sobrepressão para o caso de um fechamento rápido de escoamento.
Passo 1
Vou listar claramente os dados que o enunciado fornece (já em unidades do SI):
Diâmetro nominal: \,D=0{,}400\\ \mathrm{m}.
Espessura da parede: \,e=0{,}0172\\ \mathrm{m}.
Máxima pressão de operação: \,p_{\mathrm{op\,max}}=1{,}0\\ \mathrm{MPa}.
Extensão da tubulação: \,L=4500\\ \mathrm{m}. (não é necessária para a estimativa básica do golpe de aríete)
Velocidade do escoamento antes do fechamento: \,V=1{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Carga inicial (nível de água expressa em metros de coluna d’água): \,H_0=60\\ \mathrm{m}.
Constantes físicas que vamos usar (valores típicos):
Densidade da água: \,\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
Aceleração da gravidade: \,g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Módulo de compressibilidade (bulk modulus) da água: \,K=2{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} (valor típico).
Módulo de Young do PVC rígido (valor representativo): \,E=3{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Coeficiente de Poisson do PVC (valor representativo): \,\nu=0{,}38.
O que o enunciado pede: estimar a subpressão e a sobrepressão associadas a um fechamento rápido do escoamento. Vou calcular a velocidade de onda no fluido-tubulação e aplicar a fórmula de Joukowsky para o salto de pressão causado por parada rápida.
Passo 2
Princípio físico e fórmula principal (explicadinha):
Quando a velocidade de um escoamento em conduto é interrompida muito rapidamente (válvula fecha quase instantaneamente), aparece uma onda de desaceleração que gera uma variação de pressão dada pela fórmula de Joukowsky:
\Delta p = \rho\,a\,\Delta V,
onde:
\Delta p é a variação de pressão (Pa), sinal positivo indica aumento de pressão (sobrepressão) e sinal negativo indica diminuição (subpressão);
\rho é a densidade do líquido (\mathrm{kg/m^3});
a é a velocidade da onda de pressão no conjunto fluido–tubulação (\mathrm{m/s});
\Delta V é a variação de velocidade do fluido (\mathrm{m/s}). No fechamento rápido total usamos \Delta V = V - 0 = V.
Também é útil converter variação de pressão em metros de coluna d’água (carga) usando
\Delta h = \frac{\Delta p}{\rho g}.
Portanto precisamos primeiro estimar a. A velocidade da onda em um tubo elástico é menor que a velocidade que teria em fluido rígido e é dada, para parede fina, por:
a = \sqrt{\frac{K}{\rho\left(1 + \dfrac{K D}{e E'}\right)}},
onde:
K é o módulo de compressibilidade do fluido (Pa);
D é o diâmetro interno do tubo (m);
e é a espessura da parede (m);
E' é o módulo efetivo da parede, que para materiais elásticos é aproximadamente E'=\dfrac{E}{1-\nu^{2}} (isso leva em conta o efeito de Poisson na deformação circumferencial).
Arredondando, usamos a\approx376\\ \mathrm{m/s}. (Comentário prático: para tubos de PVC o valor de a fica na faixa algumas centenas de m/s; se fosse aço daria bem maior.)
Passo 4
Aplicar a fórmula de Joukowsky para a variação de pressão causada pelo fechamento rápido total (\Delta V = V = 1{,}5\\ \mathrm{m/s}):
Comparação com a pressão máxima de operação: p_{\max}\approx1{,}152\\ \mathrm{MPa} é maior que 1{,}0\\ \mathrm{MPa}; portanto o golpe de aríete estimado excede a pressão máxima de projeto/operacional informada.
A fórmula de Joukowsky dá a variação de pressão de magnitude |\Delta p|. O sinal depende da situação (fechamento brusco gera aumento no trecho upstream). Se, por reflexão ou em outro cenário (por exemplo abertura rápida), surgir uma queda de pressão de mesma magnitude, a pressão mínima seria
Interpretação física: a pressão mínima (se ocorrer uma depressurização de mesma magnitude) corresponderia a uma carga remanescente cerca de 2{,}6\\ \mathrm{m} — isto é, não se atinge vácuo nem a pressão de vapor da água (pressão absoluta ainda bem acima da pressão de vapor típica), logo, neste caso concreto, é improvável haver cavitação por causa de uma subpressão simples de magnitude \Delta p (pois p_{\min} absoluto continua alto).
Observação prática final: o golpe calculado excede a pressão máxima operacional declarada; portanto, para fechamento rápido real seria prudente prever amortecedores, válvulas de fechamento mais lento, dispositivos anti-transiente ou checar resistência mecânica do tubo.