Uma tubulação de agua fria é composta por tubos de PVC com diâmetro nominal de 400 mm e espessura de 17,2 \mathrm{~mm}. A máxima pressão de operação é de 1 MPa . A tubulação tem uma extensão de 4500 m e a velocidade de escoamento é de 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A carga no inicio da tubulação é de 60 m . Estime a subpressão e a sobrepressão para o caso de um fechamento rápido de escoamento.

Passo 1

Vou listar claramente os dados que o enunciado fornece (já em unidades do SI):
  • Diâmetro nominal: \,D=0{,}400\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da parede: \,e=0{,}0172\\ \mathrm{m}.
  • Máxima pressão de operação: \,p_{\mathrm{op\,max}}=1{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Extensão da tubulação: \,L=4500\\ \mathrm{m}. (não é necessária para a estimativa básica do golpe de aríete)
  • Velocidade do escoamento antes do fechamento: \,V=1{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Carga inicial (nível de água expressa em metros de coluna d’água): \,H_0=60\\ \mathrm{m}.
Constantes físicas que vamos usar (valores típicos):
  • Densidade da água: \,\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Aceleração da gravidade: \,g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Módulo de compressibilidade (bulk modulus) da água: \,K=2{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} (valor típico).
  • Módulo de Young do PVC rígido (valor representativo): \,E=3{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Coeficiente de Poisson do PVC (valor representativo): \,\nu=0{,}38.
O que o enunciado pede: estimar a subpressão e a sobrepressão associadas a um fechamento rápido do escoamento. Vou calcular a velocidade de onda no fluido-tubulação e aplicar a fórmula de Joukowsky para o salto de pressão causado por parada rápida.

Passo 2

Princípio físico e fórmula principal (explicadinha):
Quando a velocidade de um escoamento em conduto é interrompida muito rapidamente (válvula fecha quase instantaneamente), aparece uma onda de desaceleração que gera uma variação de pressão dada pela fórmula de Joukowsky:
\Delta p = \rho\,a\,\Delta V,
onde:
  • \Delta p é a variação de pressão (Pa), sinal positivo indica aumento de pressão (sobrepressão) e sinal negativo indica diminuição (subpressão);
  • \rho é a densidade do líquido ( \mathrm{kg/m^3});
  • a é a velocidade da onda de pressão no conjunto fluido–tubulação ( \mathrm{m/s});
  • \Delta V é a variação de velocidade do fluido ( \mathrm{m/s}). No fechamento rápido total usamos \Delta V = V - 0 = V.
Também é útil converter variação de pressão em metros de coluna d’água (carga) usando
\Delta h = \frac{\Delta p}{\rho g}.
Portanto precisamos primeiro estimar a. A velocidade da onda em um tubo elástico é menor que a velocidade que teria em fluido rígido e é dada, para parede fina, por:
a = \sqrt{\frac{K}{\rho\left(1 + \dfrac{K D}{e E'}\right)}},
onde:
  • K é o módulo de compressibilidade do fluido (Pa);
  • D é o diâmetro interno do tubo (m);
  • e é a espessura da parede (m);
  • E' é o módulo efetivo da parede, que para materiais elásticos é aproximadamente E'=\dfrac{E}{1-\nu^{2}} (isso leva em conta o efeito de Poisson na deformação circumferencial).
Vou aplicar essa fórmula com os valores dados.

Passo 3

Cálculo da velocidade de onda a passo a passo.
Primeiro calcule E':
E'=\frac{E}{1-\nu^{2}}=\frac{3{,}0\times10^{9}}{1-0{,}38^{2}}.
Calcule 1-\nu^{2}=1-0{,}38^{2}=1-0{,}1444=0{,}8556.
E'=\frac{3{,}0\times10^{9}}{0{,}8556}=3{,}506\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Agora calcule o termo adimensional que aparece dentro do parêntese:
\frac{K D}{e E'}=\frac{2{,}2\times10^{9}\times0{,}400}{0{,}0172\times3{,}506\times10^{9}}.
Calcule numerador e denominador separadamente:
\text{numerador}=2{,}2\times10^{9}\times0{,}400=8{,}8\times10^{8}.
\text{denominador}=0{,}0172\times3{,}506\times10^{9}=6{,}03\times10^{7}\\ (\text{aprox.}).
Logo
\frac{K D}{e E'}\approx\frac{8{,}8\times10^{8}}{6{,}03\times10^{7}}\approx14{,}59.
Portanto o fator 1+\dfrac{K D}{e E'}\approx1+14{,}59=15{,}59.
Agora calcule a:
a=\sqrt{\dfrac{K}{\rho\left(1+\dfrac{K D}{e E'}\right)}}=\sqrt{\dfrac{2{,}2\times10^{9}}{1000\times15{,}59}}.
Calcule o denominador: 1000\times15{,}59=15{,}590.
\dfrac{2{,}2\times10^{9}}{15{,}590}\approx1{,}4118\times10^{5}.
a\approx\sqrt{1{,}4118\times10^{5}}\approx375{,}8\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando, usamos a\approx376\\ \mathrm{m/s}. (Comentário prático: para tubos de PVC o valor de a fica na faixa algumas centenas de m/s; se fosse aço daria bem maior.)

Passo 4

Aplicar a fórmula de Joukowsky para a variação de pressão causada pelo fechamento rápido total ( \Delta V = V = 1{,}5\\ \mathrm{m/s}):
\Delta p=\rho\,a\,\Delta V=1000\times375{,}8\times1{,}5.
\Delta p\approx563{,}700\\ \mathrm{Pa}=5{,}637\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais usuais: \Delta p\approx0{,}5637\\ \mathrm{MPa}.
Converter para metros de coluna d’água (carga):
\Delta h=\frac{\Delta p}{\rho g}=\frac{563{,}700}{1000\times9{,}81}\approx57{,}4\\ \mathrm{m}.
Ou seja, a mudança de carga é cerca de \Delta h\approx57{,}4\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular sobrepressão máxima (pressão após o choque, assumindo que antes do choque a pressão corresponde à carga H_0=60\\ \mathrm{m}).
Pressão inicial (em Pa, valor gauge correspondente à coluna de 60 m):
p_0=\rho g H_0=1000\times9{,}81\times60=588{,}600\\ \mathrm{Pa}=0{,}5886\\ \mathrm{MPa}.
Sobrepressão (valor final, gauge):
p_{\max}=p_0+\Delta p=588{,}600+563{,}700=1{,}152{,}300\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}152\\ \mathrm{MPa}.
Em termos de carga:
H_{\max}=H_0+\Delta h=60+57{,}4=117{,}4\\ \mathrm{m}.
Comparação com a pressão máxima de operação: p_{\max}\approx1{,}152\\ \mathrm{MPa} é maior que 1{,}0\\ \mathrm{MPa}; portanto o golpe de aríete estimado excede a pressão máxima de projeto/operacional informada.

Passo 6

Calcular subpressão mínima esperada (interpretação prática):
A fórmula de Joukowsky dá a variação de pressão de magnitude |\Delta p|. O sinal depende da situação (fechamento brusco gera aumento no trecho upstream). Se, por reflexão ou em outro cenário (por exemplo abertura rápida), surgir uma queda de pressão de mesma magnitude, a pressão mínima seria
p_{\min}=p_0-\Delta p.
Calculando:
p_{\min}=588{,}600-563{,}700=24{,}900\\ \mathrm{Pa}=0{,}0249\\ \mathrm{MPa}.
Em termos de carga (metros de coluna):
H_{\min}=H_0-\Delta h=60-57{,}4=2{,}6\\ \mathrm{m}.
Interpretação física: a pressão mínima (se ocorrer uma depressurização de mesma magnitude) corresponderia a uma carga remanescente cerca de 2{,}6\\ \mathrm{m} — isto é, não se atinge vácuo nem a pressão de vapor da água (pressão absoluta ainda bem acima da pressão de vapor típica), logo, neste caso concreto, é improvável haver cavitação por causa de uma subpressão simples de magnitude \Delta p (pois p_{\min} absoluto continua alto).
Observação prática final: o golpe calculado excede a pressão máxima operacional declarada; portanto, para fechamento rápido real seria prudente prever amortecedores, válvulas de fechamento mais lento, dispositivos anti-transiente ou checar resistência mecânica do tubo.

Resposta

Subpressão (pressão mínima, gauge): p_{\min}=24{,}900\\ \mathrm{Pa}=0{,}0249\\ \mathrm{MPa}.
Subpressão (carga mínima): H_{\min}=2{,}6\\ \mathrm{m}.
Sobrepressão (aumento de pressão): \Delta p=563{,}700\\ \mathrm{Pa}=0{,}5637\\ \mathrm{MPa}.
Sobrepressão (pressão máxima, gauge): p_{\max}=1{,}152{,}300\\ \mathrm{Pa}=1{,}152\\ \mathrm{MPa}.
Sobrepressão (carga máxima): H_{\max}=117{,}4\\ \mathrm{m}.

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