[2,5] Uma onda sonora da forma s=s_{m} \cos (k x-\omega t+\varphi) se propaga a 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no ar em um tubo horizontal longo. No instante t=0 s a molécula \mathbf{A} do ar situada no ponto x=1,000 \mathrm{~m}, está com o deslocamento máximo positivo de 5,00 \mathrm{~nm} e a molécula \mathbf{B}, situada em x=1,100 \mathrm{~m}, está em deslocamento positivo de 2,50 \mathrm{~nm}. Todas as moléculas entre \mathbf{A} e \mathbf{B} estão com deslocamentos intermediários. Qual é (a) o número de onda angular, (b) o comprimento de onda e (c) a frequência da onda?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados extraídos do enunciado:
  • A forma da onda é s = s_{m}\cos(kx-\omega t+\varphi).
  • A velocidade de propagação é v = 343\\ \mathrm{m/s}.
  • No instante t=0:
    • A molécula \mathbf{A} está em x_{A}=1{,}000\\ \mathrm{m} com deslocamento máximo positivo s_{A}=5{,}00\\ \mathrm{nm}.
    • A molécula \mathbf{B} está em x_{B}=1{,}100\\ \mathrm{m} com deslocamento positivo s_{B}=2{,}50\\ \mathrm{nm}.
  • Todas as moléculas entre \mathbf{A} e \mathbf{B} têm deslocamentos intermediários (ou seja, a variação de deslocamento entre A e B é contínua sem oscilações extras).
O que o enunciado pede:
(a) o número de onda angular k (em \mathrm{rad/m});
(b) o comprimento de onda \lambda (em \mathrm{m});
(c) a frequência f (em \mathrm{Hz}).

Passo 2

Determinar a amplitude s_{m} e as fases nos pontos A e B no instante t=0.
No instante t=0 a forma é s(x,0)=s_{m}\cos(kx+\varphi).
Como em x_{A} o deslocamento é máximo positivo, isto significa que o cosseno vale 1 ali e o valor do deslocamento é a amplitude:
s_{A}=s_{m}\cos(kx_{A}+\varphi)=s_{m}\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad s_{m}=s_{A}=5{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
No ponto B:
s_{B}=s_{m}\cos(kx_{B}+\varphi).
Dividindo por s_{m} obtemos o cosseno da fase em B:
\cos(kx_{B}+\varphi)=\frac{s_{B}}{s_{m}}=\frac{2{,}50\times10^{-9}}{5{,}00\times10^{-9}}=0{,}5.

Passo 3

Traduzir as condições de fase em equações para o deslocamento angular entre A e B.
Defina as fases (no instante t=0):
\theta_{A}=kx_{A}+\varphi,\qquad \theta_{B}=kx_{B}+\varphi.
Pelo que temos:
\cos\theta_{A}=1\quad\Rightarrow\quad \theta_{A}=2\pi m,\quad m\in\mathbb{Z}.
\cos\theta_{B}=0{,}5\quad\Rightarrow\quad \theta_{B}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi p,\quad p\in\mathbb{Z}.
A diferença de fase entre B e A é
\Delta\theta=\theta_{B}-\theta_{A}=k(x_{B}-x_{A})=k\cdot 100\\ \mathrm{m}.
Portanto
k\cdot 100=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi q,\qquad q\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Escolher a solução física correta usando a informação adicional (deslocamentos intermediários entre A e B).
A equação do passo anterior permite várias soluções, porque podemos somar múltiplos inteiros de 2\pi. Essas soluções representam a possibilidade de existirem várias ondas completas entre A e B. Porém o enunciado afirma que “todas as moléculas entre \mathbf{A} e \mathbf{B} estão com deslocamentos intermediários” — isto indica que a fase varia monotonamente entre os valores em A e B sem completar voltas inteiras. A escolha física natural é tomar a menor diferença de fase positiva que leva de \cos\theta_{A}=1 até \cos\theta_{B}=0{,}5, ou seja:
\Delta\theta = +\frac{\pi}{3}\qquad(\text{o caso mais simples, sem voltas extras}).
(Se tivéssemos escolhido \Delta\theta=-\pi/3 a fase diminuiria; isso é equivalente a uma onda viajando em sentido contrário ou a um deslocamento de fase negativo — escolhemos o \Delta\theta positivo porque isso corresponde à variação contínua de 1 para 0,5 ao longo de x_A até x_B.)
Assim tomamos q=0 e o sinal +:
k\cdot 100=\frac{\pi}{3}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{\pi}{3\cdot 100}=\frac{\pi}{300}\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda a partir de k.
A relação entre número de onda angular e comprimento de onda é
k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=\dfrac{\pi}{300}:
\lambda=\frac{2\pi}{\pi/300}=2\cdot 300=600\\ \mathrm{m}.
Note que, com a escolha feita, o comprimento de onda ficou exatamente 600\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a frequência f.
A velocidade de propagação relaciona-se com frequência e comprimento de onda por
v=\lambda f \quad\Rightarrow\quad f=\frac{v}{\lambda}.
Substituindo v=343\\ \mathrm{m/s} e \lambda=600\\ \mathrm{m}:
f=\frac{343}{600}=0{,}571666\ldots\\ \mathrm{Hz}\approx 0{,}572\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Resumo numérico e verificação rápida das ordens de grandeza.
  • k=\dfrac{\pi}{300}\\ \mathrm{rad/m}\approx 0{,}01047\\ \mathrm{rad/m}.
  • \lambda=600\\ \mathrm{m} (verifica v/\lambda dá frequência pequena, da ordem de 0{,}5 Hz, consistente).
  • f\approx 0{,}572\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

(a) k=\dfrac{\pi}{300}\\ \mathrm{rad/m}\approx 0{,}01047\\ \mathrm{rad/m}
(b) \lambda=600\\ \mathrm{m}
(c) f\approx 0{,}572\\ \mathrm{Hz}

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