[2,5] Uma onda sonora da forma
se propaga a
no ar em um tubo horizontal longo. No instante
a molécula
do ar situada no ponto
, está com o deslocamento máximo positivo de
e a molécula
, situada em
, está em deslocamento positivo de
. Todas as moléculas entre
e
estão com deslocamentos intermediários. Qual é (a) o número de onda angular, (b) o comprimento de onda e (c) a frequência da onda?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados extraídos do enunciado:
- A forma da onda é
. - A velocidade de propagação é
. - No instante
: - A molécula
está em com deslocamento máximo positivo . - A molécula
está em com deslocamento positivo .
- A molécula
- Todas as moléculas entre
e têm deslocamentos intermediários (ou seja, a variação de deslocamento entre e é contínua sem oscilações extras).
O que o enunciado pede:
(a) o número de onda angular (em
);
(b) o comprimento de onda (em
);
(c) a frequência (em
).
(a) o número de onda angular
(b) o comprimento de onda
(c) a frequência
Passo 2
Determinar a amplitude
e as fases nos pontos
e
no instante
.
No instante
a forma é
.
Como em
o deslocamento é máximo positivo, isto significa que o cosseno vale
ali e o valor do deslocamento é a amplitude:
No ponto
:
Dividindo por
obtemos o cosseno da fase em
:
Passo 3
Traduzir as condições de fase em equações para o deslocamento angular entre
e
.
Defina as fases (no instante
):
Pelo que temos:
A diferença de fase entre
e
é
Portanto
Passo 4
Escolher a solução física correta usando a informação adicional (deslocamentos intermediários entre
e
).
A equação do passo anterior permite várias soluções, porque podemos somar múltiplos inteiros de
. Essas soluções representam a possibilidade de existirem várias ondas completas entre
e
. Porém o enunciado afirma que “todas as moléculas entre
e
estão com deslocamentos intermediários” — isto indica que a fase varia monotonamente entre os valores em
e
sem completar voltas inteiras. A escolha física natural é tomar a menor diferença de fase positiva que leva de
até
, ou seja:
(Se tivéssemos escolhido
a fase diminuiria; isso é equivalente a uma onda viajando em sentido contrário ou a um deslocamento de fase negativo — escolhemos o
positivo porque isso corresponde à variação contínua de 1 para 0,5 ao longo de
até
.)
Assim tomamos
e o sinal
:
Passo 5
Calcular o comprimento de onda
a partir de
.
A relação entre número de onda angular e comprimento de onda é
Substituindo
:
Note que, com a escolha feita, o comprimento de onda ficou exatamente
.
Passo 6
Calcular a frequência
.
A velocidade de propagação relaciona-se com frequência e comprimento de onda por
Substituindo
e
:
Passo 7
Resumo numérico e verificação rápida das ordens de grandeza.
-
. -
(verifica dá frequência pequena, da ordem de Hz, consistente). -
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)