Uma corda que está esticada entre suportes fixos separados por uma distância de 1,00 \mathrm{~m} possui frequências de ressonância de 200 e 320 Hz , com nenhuma outra frequência de ressonância entre esses dois valores. Determine a frequência de ressonância mais baixa

Passo 1

O enunciado dá uma corda esticada entre suportes fixos separados por 1,00\\ \mathrm{m}. Diz que duas frequências de ressonância observadas são 200\\ \mathrm{Hz} e 320\\ \mathrm{Hz}, e que não há nenhuma outra frequência de ressonância entre essas duas. A pergunta é: determinar a frequência de ressonância mais baixa (ou seja, a frequência fundamental da corda).
Informações relevantes:
  • Comprimento entre suportes: L = 1,00\\ \mathrm{m}.
  • Duas frequências de ressonância observadas: f_a = 200\\ \mathrm{Hz} e f_b = 320\\ \mathrm{Hz}.
  • Não há outras ressonâncias entre 200\\ \mathrm{Hz} e 320\\ \mathrm{Hz}.
  • Pedido: frequência de ressonância mais baixa (fundamental).

Passo 2

Princípio físico (lembrando devagar e de forma concreta):
Para uma corda com as duas extremidades fixas, os modos normais de vibração têm comprimentos de onda dados por
\lambda_n=\frac{2L}{n},
onde n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots). A frequência correspondente a cada modo é
f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{n v}{2L},
onde:
  • v é a velocidade das ondas transversais na corda (depende da tensão e da massa por unidade de comprimento da corda);
  • L é o comprimento entre suportes;
  • n é o número do modo (harmônico).
    A frequência fundamental (a mais baixa) é o modo n=1:
f_1=\frac{v}{2L}.
Assim, as frequências de ressonância formam uma progressão aritmética em múltiplos inteiros de f_1:
f_n = n f_1 \quad\text{com \(n\) inteiro positivo.}

Passo 3

Traduzindo os dados em equações com a teoria:
Se f_1 é a frequência fundamental, então existem inteiros positivos m e n tais que
200 = m f_1 \qquad\text{e}\qquad 320 = n f_1,
com n>m. Isso porque qualquer frequência de ressonância é um múltiplo inteiro de f_1.

Passo 4

Raciocínio sobre o que f_1 pode ser:
Das duas equações anteriores segue que f_1 é um divisor comum de 200 e 320. Logo f_1 deve ser um divisor de \gcd(200,320). Para encontrar o maior candidato natural para f_1 (o passo mais usual), calculamos o máximo divisor comum.
Aplicando o algoritmo de Euclides:
320-200=120,
200-120=80,
120-80=40,
80-2\cdot40=0,
portanto \gcd(200,320)=40.
Isso significa que existe um f_1 que divide ambos os valores e o maior divisor comum é 40\\ \mathrm{Hz}. Em termos de modos, isso corresponde a
200 = 5\cdot 40,\qquad 320 = 8\cdot 40,
ou seja, m=5 e n=8 se f_1=40\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Interpretação didática do resultado:
  • As frequências de ressonância são múltiplos inteiros de f_1. Logo f_1 deve dividir tanto 200 quanto 320.
  • O maior número que divide ambos é 40\\ \mathrm{Hz}. Esse valor é o menor passo possível entre frequências sucessivas (o espaçamento entre freqüências adjacentes é exatamente f_1).
  • Assim a série de ressonâncias seria 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320,\dots e 200 e 320 aparecem como o 5^{\text{o}} e o 8^{\text{o}} harmônicos, respectivamente.
Observação sobre a frase “nenhuma outra frequência de ressonância entre esses dois valores”: a interpretação usual em problemas assim é que 200 e 320 são duas frequências observadas da série harmônica da corda; o valor de f_1 tem de ser um divisor comum. O cálculo da \gcd fornece 40\\ \mathrm{Hz} como a menor frequência possível que gere ambos como múltiplos inteiros.

Resposta

40\\ \mathrm{Hz}

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