Uma corda que está esticada entre suportes fixos separados por uma distância de
possui frequências de ressonância de 200 e 320 Hz , com nenhuma outra frequência de ressonância entre esses dois valores. Determine a frequência de ressonância mais baixa
Passo 1
O enunciado dá uma corda esticada entre suportes fixos separados por
. Diz que duas frequências de ressonância observadas são
e
, e que não há nenhuma outra frequência de ressonância entre essas duas. A pergunta é: determinar a frequência de ressonância mais baixa (ou seja, a frequência fundamental da corda).
Informações relevantes:
- Comprimento entre suportes:
. - Duas frequências de ressonância observadas:
e . - Não há outras ressonâncias entre
e . - Pedido: frequência de ressonância mais baixa (fundamental).
Passo 2
Princípio físico (lembrando devagar e de forma concreta):
Para uma corda com as duas extremidades fixas, os modos normais de vibração têm comprimentos de onda dados por
Para uma corda com as duas extremidades fixas, os modos normais de vibração têm comprimentos de onda dados por
onde
é um inteiro positivo (
). A frequência correspondente a cada modo é
onde:
-
é a velocidade das ondas transversais na corda (depende da tensão e da massa por unidade de comprimento da corda); -
é o comprimento entre suportes; -
é o número do modo (harmônico).
A frequência fundamental (a mais baixa) é o modo:
Assim, as frequências de ressonância formam uma progressão aritmética em múltiplos inteiros de
:
Passo 3
Traduzindo os dados em equações com a teoria:
Se é a frequência fundamental, então existem inteiros positivos
e
tais que
Se
com
. Isso porque qualquer frequência de ressonância é um múltiplo inteiro de
.
Passo 4
Raciocínio sobre o que
pode ser:
Das duas equações anteriores segue que é um divisor comum de
e
. Logo
deve ser um divisor de
. Para encontrar o maior candidato natural para
(o passo mais usual), calculamos o máximo divisor comum.
Das duas equações anteriores segue que
Aplicando o algoritmo de Euclides:
portanto
.
Isso significa que existe um
que divide ambos os valores e o maior divisor comum é
. Em termos de modos, isso corresponde a
ou seja,
e
se
.
Passo 5
Interpretação didática do resultado:
- As frequências de ressonância são múltiplos inteiros de
. Logo deve dividir tanto quanto . - O maior número que divide ambos é
. Esse valor é o menor passo possível entre frequências sucessivas (o espaçamento entre freqüências adjacentes é exatamente ). - Assim a série de ressonâncias seria
e e aparecem como o e o harmônicos, respectivamente.
Observação sobre a frase “nenhuma outra frequência de ressonância entre esses dois valores”: a interpretação usual em problemas assim é que
e
são duas frequências observadas da série harmônica da corda; o valor de
tem de ser um divisor comum. O cálculo da
fornece
como a menor frequência possível que gere ambos como múltiplos inteiros.