Uma corda que está esticada entre suportes fixos separados por uma distância de
possui frequências de ressonância de 200 e 320 Hz , com nenhuma outra frequência de ressonância entre esses dois valores. Determine a velocidade da onda.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo que vou usar vem daqui, sem precisar de nada mais):
- A corda tem comprimento entre suportes fixos
. - A corda apresenta frequências de ressonância em
e . - Não existe nenhuma outra frequência de ressonância entre
e .
O que o problema pede: determinar a velocidade da onda na corda (ou seja, encontrarem ).
Passo 2
Conceito necessário (explicadinho): modos normais de uma corda com as duas extremidades fixas.
- Para uma corda fixa nas duas extremidades, as ondas estacionárias admitem nós nas extremidades e, para cada modo inteiro
, o comprimento de onda permitido é
Aqui
é o comprimento da corda e
é o número do modo (modo fundamental é
, primeiro harmônico é
, etc.).
- A frequência do
-ésimo modo é dada por
onde
é a velocidade da onda na corda. Nesta fórmula:
-
é a frequência do modo (em Hz), -
é a velocidade da onda (em ), -
é o comprimento da corda (em m), -
é um número inteiro positivo.
Vou detalhar cada variável para ficar bem claro:
é a quantidade que queremos;
é o comprimento de onda do modo
;
indica quantas “meias-ondas” couberam na corda.
Passo 3
Relação entre frequências consecutivas (por que usamos isso).
- As frequências formam uma progressão aritmética:
, onde é a fundamental. - A diferença entre dois modos sucessivos é exatamente a fundamental:
- O enunciado diz explicitamente que não há nenhuma frequência de ressonância entre
e . Isso significa que esses dois valores correspondem a dois modos consecutivos ( e ). Logo podemos aplicar a fórmula acima com igual à diferença entre os números dados.
Passo 4
Aplicando a fórmula para achar
.
- Calcule a diferença entre as duas frequências dadas:
- Usando
, isolamos :
- Substituindo
e :
Passo 5
Interpretação final curta e incentivo.
- Então a velocidade da onda na corda é
. Boa! Isso vem direto da propriedade de que as frequências de ressonância de uma corda fixa são igualmente espaçadas, e o espaçamento é a frequência fundamental . - Tá ficando legal — essa técnica (usar a diferença entre duas ressonâncias consecutivas) é um truque muito útil para problemas de cordas e tubos.