Uma corda que está esticada entre suportes fixos separados por uma distância de 1,00 \mathrm{~m} possui frequências de ressonância de 200 e 320 Hz , com nenhuma outra frequência de ressonância entre esses dois valores. Determine a velocidade da onda.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo que vou usar vem daqui, sem precisar de nada mais):
  • A corda tem comprimento entre suportes fixos L=1{,}00\\ \mathrm{m}.
  • A corda apresenta frequências de ressonância em 200\\ \mathrm{Hz} e 320\\ \mathrm{Hz}.
  • Não existe nenhuma outra frequência de ressonância entre 200\\ \mathrm{Hz} e 320\\ \mathrm{Hz}.
    O que o problema pede: determinar a velocidade da onda na corda (ou seja, encontrar v em \mathrm{m/s}).

Passo 2

Conceito necessário (explicadinho): modos normais de uma corda com as duas extremidades fixas.
  • Para uma corda fixa nas duas extremidades, as ondas estacionárias admitem nós nas extremidades e, para cada modo inteiro n=1,2,3,\dots, o comprimento de onda permitido é
\lambda_n=\frac{2L}{n}.
Aqui L é o comprimento da corda e n é o número do modo (modo fundamental é n=1, primeiro harmônico é n=2, etc.).
  • A frequência do n-ésimo modo é dada por
f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{n v}{2L},
onde v é a velocidade da onda na corda. Nesta fórmula:
  • f_n é a frequência do modo n (em Hz),
  • v é a velocidade da onda (em \mathrm{m/s}),
  • L é o comprimento da corda (em m),
  • n é um número inteiro positivo.
Vou detalhar cada variável para ficar bem claro: v é a quantidade que queremos; \lambda_n é o comprimento de onda do modo n; n indica quantas “meias-ondas” couberam na corda.

Passo 3

Relação entre frequências consecutivas (por que usamos isso).
  • As frequências formam uma progressão aritmética: f_n = n f_1, onde f_1=\dfrac{v}{2L} é a fundamental.
  • A diferença entre dois modos sucessivos é exatamente a fundamental:
f_{n+1}-f_n = f_1 = \frac{v}{2L}.
  • O enunciado diz explicitamente que não há nenhuma frequência de ressonância entre 200\\ \mathrm{Hz} e 320\\ \mathrm{Hz}. Isso significa que esses dois valores correspondem a dois modos consecutivos ( f_n e f_{n+1}). Logo podemos aplicar a fórmula acima com f_{n+1}-f_n igual à diferença entre os números dados.

Passo 4

Aplicando a fórmula para achar v.
  • Calcule a diferença entre as duas frequências dadas:
\Delta f = 320\\ \mathrm{Hz} - 200\\ \mathrm{Hz} = 120\\ \mathrm{Hz}.
  • Usando \Delta f = f_{n+1}-f_n = \dfrac{v}{2L}, isolamos v:
v = 2L\,\Delta f.
  • Substituindo L=1{,}00\\ \mathrm{m} e \Delta f=120\\ \mathrm{Hz}:
v = 2 \times 1{,}00\\ \mathrm{m} \times 120\\ \mathrm{Hz} = 240\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Interpretação final curta e incentivo.
  • Então a velocidade da onda na corda é 240\\ \mathrm{m/s}. Boa! Isso vem direto da propriedade de que as frequências de ressonância de uma corda fixa são igualmente espaçadas, e o espaçamento é a frequência fundamental f_1=v/(2L).
  • Tá ficando legal — essa técnica (usar a diferença entre duas ressonâncias consecutivas) é um truque muito útil para problemas de cordas e tubos.

Resposta

240\\ \mathrm{m/s}

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