Um alarme acústico utiliza uma fonte que emite ondas com uma frequência de 30,0 \mathrm{kHz}. Qual é a frequência de batimento entre as ondas da fonte e as ondas refletidas em uma pessoa em movimento com uma velocidade média de 1,706 \mathrm{~m} / \mathrm{s} aproximando-se em linha reta do alarme?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Frequência da fonte (emitida): f=30{,}0\\ \mathrm{kHz}.
  • Velocidade média da pessoa aproximando-se do alarme: u=1{,}706\\ \mathrm{m/s}.
  • O que é pedido: a frequência de batimento entre as ondas diretas da fonte e as ondas refletidas pela pessoa em movimento (ou seja, a diferença de frequência que gera batimentos audíveis).
Observação sobre a velocidade do som: o enunciado não fornece a velocidade do som. Vou assumir condições ambientes típicas e tomar c=343\\ \mathrm{m/s} (velocidade do som no ar a cerca de 20^\circC). Se outra temperatura/valor for exigido na prova, basta substituir c pelo valor correto nas fórmulas abaixo.

Passo 2

Entendendo batimentos e o efeito Doppler (com calma, passo a passo).
  • Batimentos: quando duas ondas de frequências próximas f_1 e f_2 se somam, o resultado varia em amplitude com frequência igual a |f_2-f_1|. Essa diferença absoluta é a frequência dos batimentos que ouvimos. Então a frequência de batimento pedida é
f_{\text{bat}}=\bigl|f_{\text{ref}}-f\bigr|,
onde f_{\text{ref}} é a frequência da onda refletida que volta ao alarme (ou ao observador original) e f é a frequência original.
  • Efeito Doppler aplicado a reflexão: para um objeto que se aproxima do emissor e reflete a onda, o processo tem duas etapas:
    1. A pessoa (movendo-se com velocidade u) “vê” a onda da fonte com uma frequência f_1 dada pelo Doppler para observador em movimento:
    f_1 = f\cdot\frac{c+u}{c},onde c é a velocidade do som (aqui medida no ar) e o sinal + em c+u aparece porque a pessoa se move na direção da fonte (aproximando-se), aumentando a frequência recebida.
    2. A pessoa reflete essa onda; a reflexão age como se a pessoa fosse uma fonte que emite ondas com frequência f_1 enquanto se move com velocidade u em relação ao ar. A frequência recebida pelo emissor original (o alarme estacionário) de uma fonte que se move na direção do receptor é f_{\text{ref}} = f_1\cdot\frac{c}{c-u}.O sinal - em c-u aparece porque a fonte (pessoa refletora) está se movendo em direção ao receptor, encurtando as frentes de onda recebidas e, assim, aumentando a frequência observada no receptor.
Cada variável aqui:
  • f: frequência emitida originalmente pela fonte (em Hz).
  • f_1: frequência “ouvida” pela pessoa antes da reflexão (Hz).
  • f_{\text{ref}}: frequência da onda refletida recebida de volta no alarme (Hz).
  • c: velocidade do som no ar (m/s).
  • u: velocidade da pessoa (m/s), positiva quando se aproxima da fonte.

Passo 3

Combinar as duas etapas e obter fórmula direta para f_{\text{ref}} e para a frequência de batimento.
  • Primeiro, substituir f_1 em f_{\text{ref}}:
f_{\text{ref}} = \left(f\cdot\frac{c+u}{c}\right)\cdot\frac{c}{c-u}.
  • Simplificando os c que se cancelam:
f_{\text{ref}} = f\cdot\frac{c+u}{c-u}.
  • A frequência de batimento é então
f_{\text{bat}}=\bigl|f_{\text{ref}}-f\bigr| = f\left|\frac{c+u}{c-u}-1\right|.
  • Desenvolvendo a diferença dentro do valor absoluto:
\frac{c+u}{c-u}-1=\frac{(c+u)-(c-u)}{c-u}=\frac{2u}{c-u}.
Como u>0 e c>u, o valor é positivo, então
f_{\text{bat}}=f\cdot\frac{2u}{c-u}.
  • Para velocidades muito menores que c ( u\ll c) pode-se aproximar c-u\approx c e obter a forma aproximada útil na prova:
f_{\text{bat}}\approx \frac{2fu}{c}.

Passo 4

Substituir os números e calcular passo a passo (mantendo a conta que dá para fazer sem calculadora complicada).
  • Converter f para hertz:
f = 30{,}0\\ \mathrm{kHz} = 30{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{Hz} = 3{,}00\times 10^{4}\\ \mathrm{Hz}.
  • Usar u=1{,}706\\ \mathrm{m/s} e c=343\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular c-u:
c-u = 343 - 1{,}706 = 341{,}294\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular o numerador 2 f u:
2 f u = 2\cdot(3{,}00\times 10^{4})\cdot 1{,}706 = 102\,360\\ \text{(unidade Hz}\cdot\mathrm{m/s}\text{ dividida por m/s)}.
  • Finalmente,
f_{\text{bat}} = \frac{2 f u}{c-u} = \frac{102\,360}{341{,}294}\\ \mathrm{Hz}\approx 299{,}9\\ \mathrm{Hz}.
  • Usando a aproximação f_{\text{bat}}\approx 2fu/c dá uma estimativa muito próxima:
f_{\text{bat}}\approx \frac{102\,360}{343}\\ \mathrm{Hz}\approx 298{,}5\\ \mathrm{Hz},
o que confirma que o valor exato é cerca de 300\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Interpretação rápida e ânimo (curtinha): o resultado indica que a diferença entre as ondas originais (ultrassom de 30{,}0\\ \mathrm{kHz}) e as refletidas por uma pessoa que se aproxima a 1{,}706\\ \mathrm{m/s} é da ordem de algumas centenas de hertz ( \sim 300\\ \mathrm{Hz}). Isso significa que, embora a onda principal esteja em ultrassom, a modulação por movimento produz uma batida numa faixa audível — útil em técnicas de detecção por eco/Doppler. Vai dar tudo certo na prova, foco!

Resposta

3,00\times10^{2}\\ \mathrm{Hz}

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