[2,5] Um parafuso de aço tem 2,000 \mathrm{~cm} de diâmetro a 20,00^{\circ} \mathrm{C}. Uma arruela de aluminio tem um diâmetro interno de 1,994 \mathrm{~cm} a 20,00^{\circ} \mathrm{C}. Se os dois objetos são mantidos em equilibrio térmico, a que variação de temperatura \Delta T o parafuso se ajusta perfeitamente a arruela em Celsius?

Passo 1

O enunciado nos dá as medidas iniciais à temperatura de referência 20{,}00^\circ\mathrm{C} e pede a variação de temperatura \Delta T (em Celsius) necessária para que o parafuso de aço se ajuste perfeitamente à arruela de alumínio. Dados extraídos do enunciado:
  • Diâmetro do parafuso de aço à 20{,}00^\circ\mathrm{C}: d_{s0}=2{,}000\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro interno da arruela de alumínio à 20{,}00^\circ\mathrm{C}: d_{a0}=1{,}994\\ \mathrm{cm}.
  • Ambos os corpos ficam em equilíbrio térmico, isto é, ao final têm a mesma variação de temperatura \Delta T.
O que se pede: encontrar \Delta T tal que o diâmetro final do parafuso seja igual ao diâmetro final da arruela (ou seja, que os dois se ajustem).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): a dilatação linear de um objeto quando sua temperatura varia segue a fórmula
L=L_{0}\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr),
onde:
  • L_{0} é o comprimento (ou diâmetro) inicial à temperatura de referência;
  • L é o comprimento (ou diâmetro) à nova temperatura;
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade: ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • \Delta T é a variação de temperatura em graus Celsius.
Significado físico: \alpha diz quanto, proporcionalmente, o comprimento varia por grau. Por exemplo, \alpha=20\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} significa que um comprimento de 1 vai crescer 20\times10^{-6} (ou 0{,}000020) por cada grau.
Valores típicos (tabela usual): para aço usamos \alpha_{s}=11{,}0\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} e para alumínio usamos \alpha_{a}=23{,}0\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}. Vou usar esses valores típicos porque o enunciado não fornece \alpha.

Passo 3

Escrever a condição de ajuste: os diâmetros finais devem ser iguais:
d_{s0}\bigl(1+\alpha_{s}\Delta T\bigr)=d_{a0}\bigl(1+\alpha_{a}\Delta T\bigr).
Desenvolvendo e isolando \Delta T:
d_{s0}+d_{s0}\alpha_{s}\Delta T = d_{a0}+d_{a0}\alpha_{a}\Delta T,
\bigl(d_{s0}\alpha_{s}-d_{a0}\alpha_{a}\bigr)\Delta T = d_{a0}-d_{s0},
portanto
\Delta T=\dfrac{d_{a0}-d_{s0}}{\,d_{s0}\alpha_{s}-d_{a0}\alpha_{a}\,}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos (tudo em unidades compatíveis — aqui mantemos centímetros e ^\circ\mathrm{C}^{-1}):
d_{s0}=2{,}000\\ \mathrm{cm},\qquad d_{a0}=1{,}994\\ \mathrm{cm},
\alpha_{s}=11{,}0\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1},\qquad \alpha_{a}=23{,}0\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Calcular numerador e denominador separadamente:
d_{a0}-d_{s0}=1{,}994-2{,}000=-0{,}006\\ \mathrm{cm},
d_{s0}\alpha_{s}-d_{a0}\alpha_{a}=2{,}000\cdot(11{,}0\times10^{-6})-1{,}994\cdot(23{,}0\times10^{-6})
=22{,}0\times10^{-6}-45{,}862\times10^{-6}=-23{,}862\times10^{-6}\\ \mathrm{cm}/^\circ\mathrm{C}.
Agora \Delta T:
\Delta T=\dfrac{-0{,}006}{-23{,}862\times10^{-6}}=\dfrac{0{,}006}{23{,}862\times10^{-6}}\approx251{,}4\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Interpretação física e comentário final: o resultado positivo indica que é preciso aquecer o conjunto (ambos à mesma temperatura) em aproximadamente 251{,}4^\circ\mathrm{C} para que a arruela de alumínio, que expande mais por grau, aumente seu diâmetro até igualar o do parafuso de aço. Isso significa que a temperatura final seria cerca de 20{,}00^\circ\mathrm{C}+251{,}4^\circ\mathrm{C}\approx271{,}4^\circ\mathrm{C}. É razoável: alumínio tem quase o dobro do coeficiente de dilatação do aço, então só com aquecimento suficiente a folga negativa inicial se inverte.
Força extra de ânimo: respira fundo — esse tipo de problema é sistemático: escrever a fórmula de dilatação, igualar as quantidades finais e isolar \Delta T. Dá para fazer rápido na prova se seguir esses passos!

Resposta

\Delta T \approx 251{,}4\\ ^\circ\mathrm{C}

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