[2,5] Um parafuso de aço tem
de diâmetro a
. Uma arruela de aluminio tem um diâmetro interno de
a
. Se os dois objetos são mantidos em equilibrio térmico, a que variação de temperatura
o parafuso se ajusta perfeitamente a arruela em Celsius?
Passo 1
O enunciado nos dá as medidas iniciais à temperatura de referência
e pede a variação de temperatura
(em Celsius) necessária para que o parafuso de aço se ajuste perfeitamente à arruela de alumínio. Dados extraídos do enunciado:
- Diâmetro do parafuso de aço à
: . - Diâmetro interno da arruela de alumínio à
: . - Ambos os corpos ficam em equilíbrio térmico, isto é, ao final têm a mesma variação de temperatura
.
O que se pede: encontrar
tal que o diâmetro final do parafuso seja igual ao diâmetro final da arruela (ou seja, que os dois se ajustem).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): a dilatação linear de um objeto quando sua temperatura varia segue a fórmula
onde:
-
é o comprimento (ou diâmetro) inicial à temperatura de referência; -
é o comprimento (ou diâmetro) à nova temperatura; -
é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade: ); -
é a variação de temperatura em graus Celsius.
Significado físico:
diz quanto, proporcionalmente, o comprimento varia por grau. Por exemplo,
significa que um comprimento de
vai crescer
(ou
) por cada grau.
Valores típicos (tabela usual): para aço usamos
e para alumínio usamos
. Vou usar esses valores típicos porque o enunciado não fornece
.
Passo 3
Escrever a condição de ajuste: os diâmetros finais devem ser iguais:
Desenvolvendo e isolando
:
portanto
Passo 4
Substituir os valores numéricos (tudo em unidades compatíveis — aqui mantemos centímetros e
):
Calcular numerador e denominador separadamente:
Agora
:
Passo 5
Interpretação física e comentário final: o resultado positivo indica que é preciso aquecer o conjunto (ambos à mesma temperatura) em aproximadamente
para que a arruela de alumínio, que expande mais por grau, aumente seu diâmetro até igualar o do parafuso de aço. Isso significa que a temperatura final seria cerca de
. É razoável: alumínio tem quase o dobro do coeficiente de dilatação do aço, então só com aquecimento suficiente a folga negativa inicial se inverte.
Força extra de ânimo: respira fundo — esse tipo de problema é sistemático: escrever a fórmula de dilatação, igualar as quantidades finais e isolar
. Dá para fazer rápido na prova se seguir esses passos!