[2,5] Um reservatório de grandes dimensões, mantido em nível constante, descarrega em um canal retangular bastante longo e largo (
), de declividade
, rugosidade
. A carga específica disponível é igual a
(diferença entre o NA no reservatório e o fundo do canal da seção de entrada). Assumindo que ocorre uma perda de carga localizada na entrada do canal igual a
da energia disponível
, determine a vazão unitária
e a profundidade normal yo
no canal.
Passo 1
O enunciado dá:
- Declividade do leito:
. - Rugosidade de Manning:
. - Carga específica disponível no reservatório (diferença entre o nível d’água do reservatório e o fundo do canal na entrada):
. - Perda localizada na entrada igual a
de .
O que pede:
- Determinar a vazão unitária
(em ) que sai do reservatório pelo canal. - Determinar a profundidade normal
(em ) no canal, assumindo canal retangular largo (logo ) e escoamento uniforme na região longa do canal.
Observações retiradas do enunciado:
- A perda localizada na entrada é
. - Como o canal é “bastante largo”, usa-se aproximação de canal largo para as fórmulas hidráulicas.
Passo 2
Calcular a energia disponível para o escoamento dentro do canal após a perda na entrada.
- Perda na entrada:
- Logo, a energia específica que chega ao escoamento no canal (medida acima do fundo do canal) é
Explicação didática curta: a água no reservatório tem uma certa carga total em relação ao fundo do canal; ao passar pela entrada perde parte dessa carga (aqui 10%), restando
para ser convertida em profundidade estática
e energia cinética
no canal.
Passo 3
Escrever a equação da energia específica para escoamento livre (especificidade que usaremos).
Para um escoamento permanente em seção aberta e considerando coeficiente de energia
(canal largo, velocidade praticamente uniforme na profundidade), a energia específica em relação ao fundo é
onde
-
é a profundidade do escoamento, -
é a velocidade média do escoamento, -
.
Como queremos trabalhar com vazão unitária
(vazão por unidade de largura) e
, substituímos:
Comentário didático: essa fórmula combina a energia potencial (profundidade
) com a energia cinética (
). Para um valor conhecido de
ela relaciona
e
.
Passo 4
Relacionar
e
pela fórmula de Manning para canal largo.
Para canal retangular bastante largo (borda livre larga), o raio hidráulico
. A fórmula de Manning para velocidade média é
onde
é a perda de carga por unidade de comprimento (para escoamento uniforme
). Multiplicando por
obtemos a vazão por unidade de largura:
Aqui:
-
é o coeficiente de rugosidade de Manning, -
é a declividade do canal (para escoamento uniforme ).
Explicação didática: a fórmula de Manning é empírica mas muito usada; para canais largos simplifica bastante porque a forma da seção faz
praticamente igual a
, e assim
depende de
.
Passo 5
Substituir a expressão de
(Manning) na equação da energia para obter uma única equação em
.
Escrevendo
de Manning:
Substituindo em
temos
Simplificando a potência de
:
Esta é a equação que devemos resolver para
, com
,
e
.
Passo 6
Calcular numericamente os coeficientes e escrever a equação reduzida.
Calculemos o coeficiente multiplicador:
Substituindo valores (usar
):
Portanto a equação fica
Reescrevendo como função para achar raíz:
Passo 7
Resolver numericamente
(método de tentativa sucessiva / bissecção simples, mostrado passo a passo).
Vamos avaliar
em alguns pontos:
- Para
:
- Para
: calcular . Então
Como
e
, há uma raiz em
. Faremos iterações intermediárias:
- Para
: - Para
:
A raiz está entre
e
. Interpolando linearmente entre os dois valores (boa aproximação aqui):
Verificação rápida em
:
erro muito pequeno. Assim tomamos
Comentário didático: usamos bissecção/interpolação porque a equação é não linear em
. Em prova pode-se fazer poucas iterações até obter precisão apropriada.
Passo 8
Calcular a vazão unitária
usando Manning com
encontrado.
Recordando:
Calculando
:
Calcular
. Usamos
.
- Já tínhamos
. -
Então
Agora
Arredondando com sentido prático:
Verificação (checagem rápida da energia):
- Velocidade média
. - Energia específica:
, bem próximo de (pequeno erro de arredondamento).