[2,5] Um reservatório de grandes dimensões, mantido em nível constante, descarrega em um canal retangular bastante longo e largo ( \boldsymbol{R}_{\mathbf{h}} \approx \mathbf{y}_{\mathbf{o}} ), de declividade \mathbf{I}_{\mathbf{o}}=7 \times 10^{-3} \mathrm{~m} / \mathrm{m}, rugosidade \mathbf{n}=0,020. A carga específica disponível é igual a \mathbf{E}_{\mathbf{o}}=2,0 \mathrm{~m} (diferença entre o NA no reservatório e o fundo do canal da seção de entrada). Assumindo que ocorre uma perda de carga localizada na entrada do canal igual a 10 \% da energia disponível \mathbf{E}_{\mathbf{o}}, determine a vazão unitária \mathbf{q}\left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} . \mathrm{m}\right) e a profundidade normal yo (\mathrm{m}) no canal.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Declividade do leito: I_o = 7\times10^{-3}\\ \mathrm{m/m}.
  • Rugosidade de Manning: n = 0,020.
  • Carga específica disponível no reservatório (diferença entre o nível d’água do reservatório e o fundo do canal na entrada): E_o = 2,0\\ \mathrm{m}.
  • Perda localizada na entrada igual a 10\% de E_o.
O que pede:
  • Determinar a vazão unitária q (em \mathrm{m^3\,s^{-1}\,m^{-1}}) que sai do reservatório pelo canal.
  • Determinar a profundidade normal y_0 (em \mathrm{m}) no canal, assumindo canal retangular largo (logo R_h \approx y_0) e escoamento uniforme na região longa do canal.
Observações retiradas do enunciado:
  • A perda localizada na entrada é 0{,}10\,E_o.
  • Como o canal é “bastante largo”, usa-se aproximação de canal largo para as fórmulas hidráulicas.

Passo 2

Calcular a energia disponível para o escoamento dentro do canal após a perda na entrada.
  • Perda na entrada:
h_e = 0{,}10 \, E_o = 0{,}10 \times 2{,}0 = 0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Logo, a energia específica que chega ao escoamento no canal (medida acima do fundo do canal) é
E = E_o - h_e = 2{,}0 - 0{,}20 = 1{,}80\\ \mathrm{m}.
Explicação didática curta: a água no reservatório tem uma certa carga total em relação ao fundo do canal; ao passar pela entrada perde parte dessa carga (aqui 10%), restando E para ser convertida em profundidade estática y e energia cinética \dfrac{V^2}{2g} no canal.

Passo 3

Escrever a equação da energia específica para escoamento livre (especificidade que usaremos).
Para um escoamento permanente em seção aberta e considerando coeficiente de energia \alpha\approx1 (canal largo, velocidade praticamente uniforme na profundidade), a energia específica em relação ao fundo é
E = y + \frac{V^2}{2g},
onde
  • y é a profundidade do escoamento,
  • V é a velocidade média do escoamento,
  • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Como queremos trabalhar com vazão unitária q (vazão por unidade de largura) e V=q/y, substituímos:
E = y + \frac{q^2}{2g\,y^2}.
Comentário didático: essa fórmula combina a energia potencial (profundidade y) com a energia cinética ( V^2/2g). Para um valor conhecido de E ela relaciona q e y.

Passo 4

Relacionar q e y pela fórmula de Manning para canal largo.
Para canal retangular bastante largo (borda livre larga), o raio hidráulico R_h \approx y. A fórmula de Manning para velocidade média é
V = \frac{1}{n}\, y^{2/3} \, S_f^{1/2},
onde S_f é a perda de carga por unidade de comprimento (para escoamento uniforme S_f \approx I_o). Multiplicando por y obtemos a vazão por unidade de largura:
q = V y = \frac{1}{n}\, y^{5/3} \, I_o^{1/2}.
Aqui:
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning,
  • I_o é a declividade do canal (para escoamento uniforme S_f=I_o).
Explicação didática: a fórmula de Manning é empírica mas muito usada; para canais largos simplifica bastante porque a forma da seção faz R_h praticamente igual a y, e assim q depende de y^{5/3}.

Passo 5

Substituir a expressão de q (Manning) na equação da energia para obter uma única equação em y.
Escrevendo q de Manning:
q = \frac{1}{n}\, y^{5/3} I_o^{1/2}.
Substituindo em
E = y + \frac{q^2}{2g\,y^2},
temos
E = y + \frac{1}{2g\,y^2}\left(\frac{1}{n^2} y^{10/3} I_o\right).
Simplificando a potência de y:
E = y + \frac{I_o}{2g\,n^2}\; y^{10/3 - 2} = y + \frac{I_o}{2g\,n^2}\; y^{4/3}.
Esta é a equação que devemos resolver para y, com E=1{,}80\\ \mathrm{m}, I_o=7\times10^{-3} e n=0{,}020.

Passo 6

Calcular numericamente os coeficientes e escrever a equação reduzida.
Calculemos o coeficiente multiplicador:
C = \frac{I_o}{2g\,n^2}.
Substituindo valores (usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}):
n^2 = (0{,}020)^2 = 0{,}0004,
2g\,n^2 = 2 \times 9{,}81 \times 0{,}0004 = 19{,}62 \times 0{,}0004 = 0{,}007848.
C = \frac{I_o}{2g\,n^2} = \frac{0{,}007}{0{,}007848}\approx 0{,}8919.
Portanto a equação fica
y + 0{,}8919\, y^{4/3} = 1{,}80.
Reescrevendo como função para achar raíz:
f(y) = y + 0{,}8919\, y^{4/3} - 1{,}80 = 0.

Passo 7

Resolver numericamente f(y)=0 (método de tentativa sucessiva / bissecção simples, mostrado passo a passo).
Vamos avaliar f(y) em alguns pontos:
  • Para y=1{,}00:
f(1{,}00) = 1{,}00 + 0{,}8919\cdot 1^{4/3} - 1{,}80 = 1 + 0{,}8919 - 1{,}80 = 0{,}0919 \\ (>0).
  • Para y=0{,}90: calcular 0{,}90^{4/3}. 0{,}90^{4/3} = e^{(4/3)\ln 0{,}90}\approx 0{,}8691.Então f(0{,}90) = 0{,}90 + 0{,}8919\cdot0{,}8691 - 1{,}80 \approx 0{,}90 + 0{,}7749 - 1{,}80 = -0{,}1251\\ (<0).
Como f(0{,}90)<0 e f(1{,}00)>0, há uma raiz em [0{,}90,1{,}00]. Faremos iterações intermediárias:
  • Para y=0{,}95: 0{,}95^{4/3}\approx 0{,}9339,\quad f(0{,}95)=0{,}95+0{,}8919\cdot0{,}9339-1{,}80\approx -0{,}0172.
  • Para y=0{,}96: 0{,}96^{4/3}\approx 0{,}9470,\quad f(0{,}96)=0{,}96+0{,}8919\cdot0{,}9470-1{,}80\approx 0{,}0044.
A raiz está entre 0{,}95 e 0{,}96. Interpolando linearmente entre os dois valores (boa aproximação aqui):
y \approx 0{,}95 + \frac{0 - (-0{,}0172)}{0{,}0044 - (-0{,}0172)}\times(0{,}96-0{,}95) =0{,}95 + \frac{0{,}0172}{0{,}0216}\times0{,}01 \approx 0{,}95796.
Verificação rápida em y\approx0{,}95796:
y^{4/3}\approx 0{,}9445,\quad y + 0{,}8919\,y^{4/3}\approx 0{,}95796 + 0{,}8423 = 1{,}8003\approx1{,}80,
erro muito pequeno. Assim tomamos
y_0 \approx 0{,}958\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: usamos bissecção/interpolação porque a equação é não linear em y. Em prova pode-se fazer poucas iterações até obter precisão apropriada.

Passo 8

Calcular a vazão unitária q usando Manning com y_0 encontrado.
Recordando:
q = \frac{1}{n}\, y^{5/3} I_o^{1/2}.
Calculando I_o^{1/2}:
I_o^{1/2} = \sqrt{7\times10^{-3}} \approx 0{,}083666.
Calcular y_0^{5/3}. Usamos y_0^{5/3} = y_0^{4/3}\times y_0^{1/3}.
  • Já tínhamos y_0^{4/3}\approx0{,}9445.
  • y_0^{1/3} = e^{(1/3)\ln 0{,}95796}\approx 0{,}9858.
    Então
y_0^{5/3} \approx 0{,}9445 \times 0{,}9858 \approx 0{,}9314.
Agora
\frac{1}{n} = \frac{1}{0{,}020} = 50.
q \approx 50 \times 0{,}9314 \times 0{,}083666 \approx 4{,}1833 \times 0{,}9314 \approx 3{,}895\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}\,m^{-1}}.
Arredondando com sentido prático:
q \approx 3{,}90\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}\,m^{-1}}.
Verificação (checagem rápida da energia):
  • Velocidade média V=q/y_0 \approx 3{,}895/0{,}95796 \approx 4{,}07\\ \mathrm{m/s}.
  • Energia específica: y_0 + V^2/(2g)\approx 0{,}958 + (4{,}07^2)/(19{,}62)\approx 0{,}958 + 0{,}843\approx 1{,}801\\ \mathrm{m}, bem próximo de 1{,}80 (pequeno erro de arredondamento).

Resposta

q \approx 3{,}90\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}\,m^{-1}}
y_0 \approx 0{,}958\\ \mathrm{m}

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