Um escoamento uniforme, com altura d’água igual a
, ocorre em um canal retangular de
de largura com vazão de
. Em uma determinada seção um degrau de
de altura é construído no fundo do canal e nesta mesma seção a largura do canal é reduzida para
. Desprezando-se a perda de carga na transição, determine: (a) o tipo do canal, a classificação do escoamento uniforme e a sua respectiva energia específica (m); (b) as alturas d’água (m) imediatamente antes, sobre e logo depois do degrau; (c) a largura (m) do canal na transição, considerando a ocorrência do degrau, para que a condição do escoamento a montante não se altere.
Passo 1
O enunciado nos dá (peguei todos os números do enunciado):
- Vazão
. - Canal retangular com largura a montante
. - Altura d’água a montante (escoamento uniforme)
. - Em uma seção é construído um degrau no fundo de altura
. - Na mesma seção a largura passa a valer
(isso é a redução indicada no enunciado). - Desprezam-se perdas de carga na transição.
O que se pede:
(a) identificar o tipo de canal, classificar o escoamento uniforme a montante (subcrítico ou supercrítico) e calcular a respectiva energia específica (em metros);
(b) calcular as alturas d’água imediatamente antes do degrau, sobre o degrau e logo depois do degrau;
(c) determinar a largura do canal na transição (ou seja, que tomar na seção do degrau), considerando a existência do degrau, de modo que a condição do escoamento a montante não se altere.
(a) identificar o tipo de canal, classificar o escoamento uniforme a montante (subcrítico ou supercrítico) e calcular a respectiva energia específica (em metros);
(b) calcular as alturas d’água imediatamente antes do degrau, sobre o degrau e logo depois do degrau;
(c) determinar a largura do canal na transição (ou seja, que
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e concreta).
- Em canais abertos, a energia total por unidade de peso (cota de energia) relativa a um datum é
onde
é a cota do fundo do canal e
é a energia específica relativa ao fundo, dada por
com
a profundidade,
a velocidade média e
a gravidade (
). A energia específica é a soma da profundidade e da “cabeça de velocidade”.
- Para um canal retangular, a área molhada é
e a velocidade média é
Substituindo em
obtemos a fórmula prática
- O ponto crítico (profundidade crítica)
para um canal retangular é o que minimiza . Para retangular há a relação simples
e a energia específica crítica é
- Classificação do escoamento: se
é escoamento subcrítico (fluxo lento, superfície livre alta, também chamado tranqüilo); se é supercrítico (fluxo rápido).
Vou aplicar essas fórmulas aos dados.
Passo 3
Calcular
e classificar o escoamento a montante (parte (a)).
- Calcular
com :
- Comparar
com : como , o escoamento a montante é subcrítico (tranquilo).
Passo 4
Calcular a energia específica a montante
(parte (a), continuação).
- Usando a fórmula
com e :
Então a contribuição da velocidade é
. Como
,
Portanto
Arredondando de forma razoável,
.
Passo 5
Efeito do degrau: energia disponível sobre o degrau.
- Se o fundo sobe
e não há perda de carga, a cota de energia se conserva. A cota do fundo sobe, logo a energia específica relativa ao novo fundo diminui:
- Calculemos:
Essa é a energia específica disponível sobre o degrau (relativa ao topo do degrau).
Passo 6
Verificar se existe profundidade admissível sobre o degrau quando a largura permanece
(isto responde parte de (b)).
- Para que exista uma profundidade real
tal que deve valer (energia específica mínima possível é ). Para já calculamos , então
- Comparando:
- Conclusão: não existe profundidade real
sobre o degrau (com ) que satisfaça . Em termos físicos, o degrau de deixa a energia específica abaixo da mínima admissível para o escoamento com essa vazão e essa largura; portanto a hipótese de “escoamento uniforme a montante não alterado” não pode ser mantida e o escoamento a montante será forçosamente alterado (por exemplo ocorrerá estrangulamento/ajuste hidráulico — não há solução steady com as mesmas condições a montante).
Passo 7
Interpretação e resposta à parte (b) (resumindo com clareza).
- Altura imediatamente antes do degrau: essa é a condição dada, portanto
- Altura imediatamente sobre o degrau (considerando que a largura permanecesse
): não existe profundidade real compatível com a energia disponível porque . Logo não há físico neste caso; o escoamento a montante terá que ser alterado (a suposição de que nada muda a montante falha). - Altura logo depois do degrau (isto é, na seção com largura reduzida
): igualmente, para calcule o correspondente e veja que também não é possível (faço o cálculo de verificação abaixo): - Para
:
- Para
Como
, também não existe
possível imediatamente após o degrau com
.
- Portanto a resposta prática para (b) é:
; não existe profundidade admissível sobre nem logo após o degrau para as larguras dadas — a presença do degrau de obrigaria alteração do escoamento a montante.
Passo 8
Determinar a largura mínima na transição para que a condição do escoamento a montante não se altere (parte (c)).
- Para que exista alguma profundidade sobre o degrau compatível com
, é necessário , onde e . - O caso limite (menor largura que ainda permite existência de solução) ocorre quando
- Substituindo
em função de :
- Isolando
:
- Substituir valores:
.
- Interpretação: a largura mínima na transição que ainda permite existência de profundidade sobre o degrau (sem alterar a condição a montante) é aproximadamente
. Como a largura a montante era e o enunciado diz que a largura foi reduzida para , essa redução é insuficiente (na verdade piora o problema): para manter o escoamento a montante inalterado a largura naquele ponto teria de ser aumentada para pelo menos .
Resposta
(a) Canal retangular; escoamento uniforme a montante subcrítico (tranquilo); energia específica
Não existe profundidade admissível imediatamente sobre nem logo após o degrau para as larguras dadas (
ou
), pois
(o escoamento a montante seria alterado).\n
(c) Largura mínima na transição para que a condição a montante não se altere: )
(c) Largura mínima na transição para que a condição a montante não se altere: