[4,0] Um escoamento uniforme, com altura d’água igual a 1,50 \mathrm{~m}, ocorre em um canal retangular de 3,0 \mathrm{~m} de largura com vazão de 8,10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Em uma determinada seção um degrau de 0,35 \mathrm{~m} de altura é construído no fundo do canal e nesta mesma seção a largura do canal é reduzida para 2,5 \mathrm{~m}. Desprezando-se a perda de carga na transição, determine: (a) o tipo do canal, a classificação do escoamento uniforme e a sua respectiva energia específica (m); (b) as alturas d’água (m) imediatamente antes, sobre e logo depois do degrau; (c) a largura (m) do canal na transição, considerando a ocorrência do degrau, para que a condição do escoamento a montante não se altere.

Passo 1

O enunciado nos dá (peguei todos os números do enunciado):
  • Vazão Q = 8{,}10\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Canal retangular com largura a montante b_1 = 3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Altura d’água a montante (escoamento uniforme) y_1 = 1{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Em uma seção é construído um degrau no fundo de altura \Delta z = 0{,}35\\ \mathrm{m}.
  • Na mesma seção a largura passa a valer b_2 = 2{,}5\\ \mathrm{m} (isso é a redução indicada no enunciado).
  • Desprezam-se perdas de carga na transição.
O que se pede:
(a) identificar o tipo de canal, classificar o escoamento uniforme a montante (subcrítico ou supercrítico) e calcular a respectiva energia específica (em metros);
(b) calcular as alturas d’água imediatamente antes do degrau, sobre o degrau e logo depois do degrau;
(c) determinar a largura do canal na transição (ou seja, que b tomar na seção do degrau), considerando a existência do degrau, de modo que a condição do escoamento a montante não se altere.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e concreta).
  • Em canais abertos, a energia total por unidade de peso (cota de energia) relativa a um datum é
H = z + E,
onde z é a cota do fundo do canal e E é a energia específica relativa ao fundo, dada por
E = y + \frac{V^2}{2g},
com y a profundidade, V a velocidade média e g a gravidade ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}). A energia específica é a soma da profundidade e da “cabeça de velocidade”.
  • Para um canal retangular, a área molhada é A = b\,y e a velocidade média é
V = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{b\,y}.
Substituindo em E obtemos a fórmula prática
E(y) = y + \frac{Q^2}{2g\,b^2\,y^2}.
  • O ponto crítico (profundidade crítica) y_c para um canal retangular é o que minimiza E(y). Para retangular há a relação simples
y_c = \left(\frac{Q^2}{g\,b^2}\right)^{1/3},
e a energia específica crítica é
E_c = \frac{3}{2}\,y_c.
  • Classificação do escoamento: se y>y_c é escoamento subcrítico (fluxo lento, superfície livre alta, também chamado tranqüilo); se y<y_c é supercrítico (fluxo rápido).
Vou aplicar essas fórmulas aos dados.

Passo 3

Calcular y_c e classificar o escoamento a montante (parte (a)).
  • Calcular y_c com b_1=3{,}0\\ \mathrm{m}:
\frac{Q^2}{g\,b_1^2}=\frac{(8{,}10)^2}{9{,}81\cdot(3{,}0)^2} =\frac{65{,}61}{9{,}81\cdot9} =\frac{65{,}61}{88{,}29}\approx 0{,}7434.
y_c = (0{,}7434)^{1/3}\approx 0{,}904\\ \mathrm{m}.
  • Comparar y_1=1{,}50\\ \mathrm{m} com y_c: como 1{,}50>0{,}904, o escoamento a montante é subcrítico (tranquilo).

Passo 4

Calcular a energia específica a montante E_1 (parte (a), continuação).
  • Usando a fórmula E = y + \dfrac{Q^2}{2g b^2 y^2} com y_1=1{,}50 e b_1=3{,}0:
\frac{Q^2}{2g b_1^2}=\frac{65{,}61}{2\cdot9{,}81\cdot9} =\frac{65{,}61}{176{,}58}\approx 0{,}3714.
Então a contribuição da velocidade é \dfrac{0{,}3714}{y_1^2}. Como y_1^2=(1{,}50)^2=2{,}25,
\frac{0{,}3714}{y_1^2}=\frac{0{,}3714}{2{,}25}\approx 0{,}1652.
Portanto
E_1 = y_1 + \frac{Q^2}{2g b_1^2 y_1^2} \approx 1{,}50 + 0{,}1652 = 1{,}6652\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável, E_1\approx 1{,}665\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Efeito do degrau: energia disponível sobre o degrau.
  • Se o fundo sobe \Delta z=0{,}35\\ \mathrm{m} e não há perda de carga, a cota de energia H se conserva. A cota do fundo sobe, logo a energia específica relativa ao novo fundo diminui:
E_{\text{sobre}} = E_1 - \Delta z.
  • Calculemos:
E_{\text{sobre}} = 1{,}6652 - 0{,}35 = 1{,}3152\\ \mathrm{m}.
Essa é a energia específica disponível sobre o degrau (relativa ao topo do degrau).

Passo 6

Verificar se existe profundidade admissível sobre o degrau quando a largura permanece b=3{,}0\\ \mathrm{m} (isto responde parte de (b)).
  • Para que exista uma profundidade real y tal que E(y)=E_{\text{sobre}} deve valer E_{\text{sobre}}\ge E_c (energia específica mínima possível é E_c). Para b=3{,}0\\ \mathrm{m} já calculamos y_c\approx0{,}904\\ \mathrm{m}, então
E_c = \frac{3}{2}y_c \approx \frac{3}{2}\cdot0{,}904 \approx 1{,}356\\ \mathrm{m}.
  • Comparando:
E_{\text{sobre}} = 1{,}3152\\ \mathrm{m} < E_c \approx 1{,}356\\ \mathrm{m}.
  • Conclusão: não existe profundidade real y sobre o degrau (com b=3{,}0\\ \mathrm{m}) que satisfaça E(y)=E_{\text{sobre}}. Em termos físicos, o degrau de 0{,}35\\ \mathrm{m} deixa a energia específica abaixo da mínima admissível para o escoamento com essa vazão e essa largura; portanto a hipótese de “escoamento uniforme a montante não alterado” não pode ser mantida e o escoamento a montante será forçosamente alterado (por exemplo ocorrerá estrangulamento/ajuste hidráulico — não há solução steady com as mesmas condições a montante).

Passo 7

Interpretação e resposta à parte (b) (resumindo com clareza).
  • Altura imediatamente antes do degrau: essa é a condição dada, portanto
y_{\text{antes}} = y_1 = 1{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Altura imediatamente sobre o degrau (considerando que a largura permanecesse b=3{,}0\\ \mathrm{m}): não existe profundidade real compatível com a energia disponível E_{\text{sobre}}=1{,}3152\\ \mathrm{m} porque E_{\text{sobre}}<E_c. Logo não há y_{\text{sobre}} físico neste caso; o escoamento a montante terá que ser alterado (a suposição de que nada muda a montante falha).
  • Altura logo depois do degrau (isto é, na seção com largura reduzida b_2=2{,}5\\ \mathrm{m}): igualmente, para b_2=2{,}5\\ \mathrm{m} calcule o E_c correspondente e veja que também não é possível (faço o cálculo de verificação abaixo):
    • Para b_2=2{,}5\\ \mathrm{m}:
    \frac{Q^2}{g b_2^2}=\frac{65{,}61}{9{,}81\cdot6{,}25}\approx 1{,}070,
y_{c,2}=(1{,}070)^{1/3}\approx1{,}023\\ \mathrm{m},\qquad E_{c,2}=\tfrac{3}{2}y_{c,2}\approx1{,}535\\ \mathrm{m}.
Como E_{\text{sobre}}=1{,}3152 < E_{c,2}, também não existe y possível imediatamente após o degrau com b_2=2{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Portanto a resposta prática para (b) é: y_{\text{antes}}=1{,}50\\ \mathrm{m}; não existe profundidade admissível sobre nem logo após o degrau para as larguras dadas — a presença do degrau de 0{,}35\\ \mathrm{m} obrigaria alteração do escoamento a montante.

Passo 8

Determinar a largura mínima na transição para que a condição do escoamento a montante não se altere (parte (c)).
  • Para que exista alguma profundidade sobre o degrau compatível com E_{\text{sobre}}=E_1-\Delta z, é necessário E_{\text{sobre}}\ge E_c(b), onde E_c(b)=\tfrac{3}{2}y_c(b) e y_c(b)=\big(Q^2/(g b^2)\big)^{1/3}.
  • O caso limite (menor largura que ainda permite existência de solução) ocorre quando
E_{\text{sobre}} = E_c(b).
  • Substituindo y_c em função de b:
E_{\text{sobre}} = \frac{3}{2}\left(\frac{Q^2}{g b^2}\right)^{1/3}.
  • Isolando b^2:
\left(\frac{Q^2}{g b^2}\right)^{1/3} = \frac{2}{3}E_{\text{sobre}} \quad\Rightarrow\quad \frac{Q^2}{g b^2} = \left(\frac{2}{3}E_{\text{sobre}}\right)^3
\Rightarrow\quad b^2 = \frac{Q^2}{g\left(\dfrac{2}{3}E_{\text{sobre}}\right)^3}.
  • Substituir valores: E_{\text{sobre}}=1{,}3152\\ \mathrm{m}.
\frac{2}{3}E_{\text{sobre}} = \frac{2}{3}\cdot1{,}3152 \approx 0{,}8768,
\left(0{,}8768\right)^3 \approx 0{,}6739,
g\left(0{,}8768\right)^3 \approx 9{,}81\cdot0{,}6739 \approx 6{,}613.
b^2 \approx \frac{65{,}61}{6{,}613}\approx 9{,}925, \qquad b \approx \sqrt{9{,}925}\approx 3{,}151\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: a largura mínima na transição que ainda permite existência de profundidade sobre o degrau (sem alterar a condição a montante) é aproximadamente b_{\min}\approx 3{,}15\\ \mathrm{m}. Como a largura a montante era 3{,}00\\ \mathrm{m} e o enunciado diz que a largura foi reduzida para 2{,}5\\ \mathrm{m}, essa redução é insuficiente (na verdade piora o problema): para manter o escoamento a montante inalterado a largura naquele ponto teria de ser aumentada para pelo menos 3{,}15\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) Canal retangular; escoamento uniforme a montante subcrítico (tranquilo); energia específica E_1\approx 1{,}665\\ \mathrm{m}.\n (b) \(y_{\text{antes}}=1{,}50\\ \mathrm{m}. Não existe profundidade admissível imediatamente sobre nem logo após o degrau para as larguras dadas ( b=3{,}0\\ \mathrm{m} ou b=2{,}5\\ \mathrm{m}), pois E_{\text{sobre}}=1{,}3152\\ \mathrm{m}<E_c (o escoamento a montante seria alterado).\n
(c) Largura mínima na transição para que a condição a montante não se altere: b_{\min}\approx 3{,}15\\ \mathrm{m}.)

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