Um canal circular com
de diâmetro em concreto com
possul uma inclinaçăo longitudinal de
e transporta uma vazăo de
.
a) Determinar a profundidade normal e a velocidade média do escoamento.
b) Considerando o regime de escoamento no canal, o que se pode afirmar sobre uma perturbação introduzida ao escoamento?
a) Determinar a profundidade normal e a velocidade média do escoamento.
b) Considerando o regime de escoamento no canal, o que se pode afirmar sobre uma perturbação introduzida ao escoamento?
Passo 1
Identificar o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
Dados fornecidos:
Perguntas:
a) Determinar a profundidade normal e a velocidade média do escoamento
.
b) Considerando o regime (tipo de escoamento) no canal, o que se pode afirmar sobre o que acontece quando se introduz uma perturbação no escoamento?
a) Determinar a profundidade normal
b) Considerando o regime (tipo de escoamento) no canal, o que se pode afirmar sobre o que acontece quando se introduz uma perturbação no escoamento?
Passo 2
Apresentar a fórmula que usamos (Manning) e explicar cada termo.
A equação de Manning para escoamento uniforme em canal aberto é:
onde:
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de rugosidade (unidade ); -
é a área da seção molhada ( ); -
é o raio hidráulico, definido por ( ), com perímetro molhado ( ); -
é a inclinação da linha de energia (aqui igual à inclinação do leito para escoamento uniforme).
Explicação didática: Manning dá a vazão em função da geometria da seção (via
e
), da rugosidade e da inclinação. Para um canal circular parcialmente cheio precisamos expressar
e
em função da profundidade; é mais prático usar um ângulo central.
Passo 3
Geometria da seção circular parcialmente cheia — representar com o ângulo central e escrever as fórmulas.
Seja
o ângulo meia-central (em rad), isto é, o semi-ângulo que, somado com o outro igual, dá o ângulo central
da parte molhada (figura implícita). Com raio do tubo
valem as relações padrão:
Área da seção molhada:
Perímetro molhado:
Raio hidráulico:
Profundidade
a partir do fundo do tubo:
Observação didática:
varia de
(tubo quase vazio) até
(tubo cheio). Nosso objetivo é encontrar
que satisfaça Manning com
; daí obtemos
e
.
Passo 4
Reduzir a equação de Manning a uma equação em
e montar a forma numérica a resolver.
Escrevendo
e isolando a parte geométrica, definimos
Então a equação a resolver é
Substituindo as expressões de
e
em função de
e fatorando potências de
obtemos (passagem algébrica):
Para resolver numericamente calculamos
e, por tentativa/iteração, encontramos o
que satisfaz
Passo 5
Cálculos numéricos dos termos constantes e do membro direito
.
Calculemos os valores numéricos:
Também calculamos a constante multiplicativa:
Portanto queremos
tal que
Passo 6
Resolver numericamente por tentativas (método simples de iteração) — avaliar a função para alguns
e achar a raiz.
Definimos a função
Avaliações (apresento os passos de cálculo de forma explícita para você poder reproduzir na prova usando uma calculadora simples):
- Para
:
- Para
:
Como
, a solução está entre
e
. Fazemos interpolação/iteração:
- Teste intermediário
:
Assim tomamos
como solução numérica adequada (erro pequeno aceitável para prova).
Passo 7
Calcular a profundidade normal
usando
encontrado e verificar área, perímetro, raio hidráulico e velocidade média.
Profundidade:
Com
temos
, logo
Área da seção molhada:
Perímetro molhado:
Raio hidráulico:
Velocidade média (pela continuidade):
Verificação pela fórmula de Manning para
:
compatível com
(diferenças por arredondamento).
Passo 8
Determinar o regime de escoamento (número de Froude) e interpretar o efeito de uma perturbação.
Definição do número de Froude para canal aberto:
onde
(profundidade hidráulica) é
e
é a largura superficial da seção molhada.
Para a seção circular:
Com
,
, logo
Agora o número de Froude:
Interpretação didática:
indica escoamento subcrítico (ou “tranquilo”). Em escoamento subcrítico as ondas superficiais via gravidade propagam-se mais rápido que o escoamento médio, logo uma perturbação local pode propagar-se para montante (e também para jusante). Em termos práticos: uma perturbação introduzida se fará sentir a montante e a jusante; as condições a jusante controlam, em geral, o escoamento a montante.
Resposta
a)
,
b) → escoamento subcrítico; uma perturbação pode propagar‑se para montante (informação/correntes de superfície alcançam o montante).
b)