[2,50] Um canal circular com 1,2 m de diâmetro em concreto com n=0,013 \mathrm{sm}^{-1 / 3} possul uma inclinaçăo longitudinal de 0,4 \% e transporta uma vazăo de 2 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~s}^{-1}.
a) Determinar a profundidade normal e a velocidade média do escoamento.
b) Considerando o regime de escoamento no canal, o que se pode afirmar sobre uma perturbação introduzida ao escoamento?

Passo 1

Identificar o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
Dados fornecidos:
\text{diâmetro }D = 1{,}2\\ \mathrm{m}â
\text{raio }R_0=\frac{D}{2}=0{,}6\\ \mathrm{m}
\text{coeficiente de rugosidade }n=0{,}013\\ \mathrm{s}\,\mathrm{m}^{-1/3}
\text{inclinação longitudinal }S_0=0{,}4\%=0{,}004çã
\text{vazão }Q=2\\ \mathrm{m}^3\!\!/\mathrm{s}ã
Perguntas:
a) Determinar a profundidade normal y_n e a velocidade média do escoamento V.
b) Considerando o regime (tipo de escoamento) no canal, o que se pode afirmar sobre o que acontece quando se introduz uma perturbação no escoamento?

Passo 2

Apresentar a fórmula que usamos (Manning) e explicar cada termo.
A equação de Manning para escoamento uniforme em canal aberto é:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R_h^{2/3}\,S_0^{1/2}
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s});
  • n é o coeficiente de rugosidade (unidade \mathrm{s}\,\mathrm{m}^{-1/3});
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m}^2);
  • R_h é o raio hidráulico, definido por R_h=\dfrac{A}{P} ( \mathrm{m}), com P perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S_0 é a inclinação da linha de energia (aqui igual à inclinação do leito para escoamento uniforme).
Explicação didática: Manning dá a vazão em função da geometria da seção (via A e R_h), da rugosidade e da inclinação. Para um canal circular parcialmente cheio precisamos expressar A e P em função da profundidade; é mais prático usar um ângulo central.

Passo 3

Geometria da seção circular parcialmente cheia — representar com o ângulo central e escrever as fórmulas.
Seja \theta o ângulo meia-central (em rad), isto é, o semi-ângulo que, somado com o outro igual, dá o ângulo central 2\theta da parte molhada (figura implícita). Com raio do tubo R_0 valem as relações padrão:
Área da seção molhada:
A=R_0^2\Big(\theta-\sin\theta\cos\theta\Big)=R_0^2\Big(\theta-\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\Big)
Perímetro molhado:
P=2R_0\theta
Raio hidráulico:
R_h=\frac{A}{P}=R_0\frac{\theta-\sin\theta\cos\theta}{2\theta}
Profundidade y a partir do fundo do tubo:
y=R_0\big(1-\cos\theta\big)
Observação didática: \theta varia de 0 (tubo quase vazio) até \pi (tubo cheio). Nosso objetivo é encontrar \theta que satisfaça Manning com Q=2\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}; daí obtemos y e V=Q/A.

Passo 4

Reduzir a equação de Manning a uma equação em \theta e montar a forma numérica a resolver.
Escrevendo Q e isolando a parte geométrica, definimos
Q^*=\frac{Q\,n}{\sqrt{S_0}}.
Então a equação a resolver é
A\,R_h^{2/3}=Q^*.
Substituindo as expressões de A e R_h em função de \theta e fatorando potências de R_0 obtemos (passagem algébrica):
A\,R_h^{2/3}= \frac{R_0^{8/3}}{2^{2/3}}\; \frac{\big(\theta-\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\big)^{5/3}}{\theta^{2/3}}.
Para resolver numericamente calculamos Q^* e, por tentativa/iteração, encontramos o \theta que satisfaz
\frac{R_0^{8/3}}{2^{2/3}}\; \frac{\big(\theta-\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\big)^{5/3}}{\theta^{2/3}}=Q^*.

Passo 5

Cálculos numéricos dos termos constantes e do membro direito Q^*.
Calculemos os valores numéricos:
R_0=0{,}6\\ \mathrm{m}
\sqrt{S_0}=\sqrt{0{,}004}=0{,}0632455532\\ (\text{aprox.})
Q^*=\frac{Q\,n}{\sqrt{S_0}}=\frac{2\cdot 0{,}013}{0{,}0632455532}=0{,}411\\ (\text{aprox.})
Também calculamos a constante multiplicativa:
\frac{R_0^{8/3}}{2^{2/3}}\approx 0{,}16144\\ (\text{aprox.})
Portanto queremos \theta tal que
0{,}16144\;\frac{\big(\theta-\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\big)^{5/3}}{\theta^{2/3}} \approx 0{,}411.

Passo 6

Resolver numericamente por tentativas (método simples de iteração) — avaliar a função para alguns \theta e achar a raiz.
Definimos a função
H(\theta)=0{,}16144\;\frac{\big(\theta-\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\big)^{5/3}}{\theta^{2/3}}.
Avaliações (apresento os passos de cálculo de forma explícita para você poder reproduzir na prova usando uma calculadora simples):
  • Para \theta=1{,}9:
\sin 2\theta=\sin(3{,}8)\approx -0{,}6119
\theta-\tfrac{1}{2}\sin2\theta=1{,}9+0{,}30595=2{,}20595
H(1{,}9)\approx 0{,}3945
  • Para \theta=2{,}0:
\sin 2\theta=\sin(4{,}0)\approx -0{,}7568
\theta-\tfrac{1}{2}\sin2\theta=2{,}0+0{,}3784=2{,}3784
H(2{,}0)\approx 0{,}4306
Como H(1{,}9)<0{,}411< H(2{,}0), a solução está entre 1{,}9 e 2{,}0. Fazemos interpolação/iteração:
  • Teste intermediário \theta\approx 1{,}946:
\sin(2\cdot 1{,}946)=\sin(3{,}892)\approx -0{,}6753
\theta-\tfrac{1}{2}\sin2\theta=1{,}946+0{,}33765=2{,}28365
H(1{,}946)\approx 0{,}4106\\ (\text{muito próximo de }0{,}411)ó
Assim tomamos \theta\approx 1{,}946\\ \mathrm{rad} como solução numérica adequada (erro pequeno aceitável para prova).

Passo 7

Calcular a profundidade normal y_n usando \theta encontrado e verificar área, perímetro, raio hidráulico e velocidade média.
Profundidade:
y_n=R_0\big(1-\cos\theta\big).
Com \theta=1{,}946 temos \cos 1{,}946\approx -0{,}369, logo
y_n=0{,}6\big(1-(-0{,}369)\big)=0{,}6\cdot 1{,}369\approx 0{,}821\\ \mathrm{m}.
Área da seção molhada:
A=R_0^2\Big(\theta-\tfrac{1}{2}\sin2\theta\Big)=0{,}36\cdot 2{,}28365\approx 0{,}822\\ \mathrm{m}^2.
Perímetro molhado:
P=2R_0\theta=1{,}2\cdot 1{,}946\approx 2{,}335\\ \mathrm{m}.
Raio hidráulico:
R_h=\frac{A}{P}\approx\frac{0{,}822}{2{,}335}\approx 0{,}352\\ \mathrm{m}.
Velocidade média (pela continuidade):
V=\frac{Q}{A}=\frac{2}{0{,}822}\approx 2{,}43\\ \mathrm{m/s}.
Verificação pela fórmula de Manning para V:
V=\frac{1}{n}R_h^{2/3}S_0^{1/2}\approx \frac{1}{0{,}013}\cdot 0{,}352^{2/3}\cdot 0{,}0632456\approx 2{,}42\\ \mathrm{m/s},
compatível com V=Q/A (diferenças por arredondamento).

Passo 8

Determinar o regime de escoamento (número de Froude) e interpretar o efeito de uma perturbação.
Definição do número de Froude para canal aberto:
\mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{g\,D_h}},
onde D_h (profundidade hidráulica) é D_h=\dfrac{A}{T} e T é a largura superficial da seção molhada.
Para a seção circular:
T=2R_0\sin\theta.
Com \theta=1{,}946, \sin\theta\approx 0{,}934, logo
T\approx 2\cdot 0{,}6\cdot 0{,}934\approx 1{,}120\\ \mathrm{m}.
D_h=\frac{A}{T}\approx\frac{0{,}822}{1{,}120}\approx 0{,}734\\ \mathrm{m}.
Agora o número de Froude:
\mathrm{Fr}=\frac{2{,}43}{\sqrt{9{,}81\cdot 0{,}734}}\approx\frac{2{,}43}{2{,}68}\approx 0{,}91.
Interpretação didática: \mathrm{Fr}<1 indica escoamento subcrítico (ou “tranquilo”). Em escoamento subcrítico as ondas superficiais via gravidade propagam-se mais rápido que o escoamento médio, logo uma perturbação local pode propagar-se para montante (e também para jusante). Em termos práticos: uma perturbação introduzida se fará sentir a montante e a jusante; as condições a jusante controlam, em geral, o escoamento a montante.

Resposta

a) \;y_n\approx 0{,}82\\ \mathrm{m}, \;V\approx 2{,}43\\ \mathrm{m/s}.
b) \;\mathrm{Fr}\approx 0{,}91<1 → escoamento subcrítico; uma perturbação pode propagar‑se para montante (informação/correntes de superfície alcançam o montante).

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