Ar escoa em regime permanente através de um bocal horizontal (equipamento utilizado para acelerar um escoamento) que o descarrega para a atmosfera. Na entrada do bocal, a área é 0,15 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{e}, na saída, 0,022 \mathrm{~m}^{2}. Determine a pressão manométrica necessária na entrada do bocal para produzir uma velocidade de saida de 70 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Para o ar na condição padrão a massa específica é de 1,23 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta.
Dados conhecidos:
A_1 = 0,15\\ \mathrm{m}^2
A_2 = 0,022\\ \mathrm{m}^2
v_2 = 70\\ \mathrm{m/s}
\rho = 1,23\\ \mathrm{kg/m^3}
  • O bocal é horizontal e o escoamento é permanente.
  • A saída descarrega para a atmosfera (logo a pressão na saída é a pressão atmosférica).
O que o enunciado pede:
  • Determinar a pressão manométrica na entrada do bocal, isto é, p_{\text{man}} = p_1 - p_{\text{atm}}, necessária para produzir v_2=70\\ \mathrm{m/s} na saída.

Passo 2

Conservação da massa (equação da continuidade) para escoamento permanente: a vazão mássica \dot m é constante. A expressão geral é
\dot m = \rho A v.
Como a densidade \rho é a mesma em entrada e saída (assumimos ar praticamente incompressível aqui), a equação simplifica para
A_1 v_1 = A_2 v_2.
Isolando v_1 obtemos
v_1 = \frac{A_2}{A_1}\; v_2.
Agora calculamos \dfrac{A_2}{A_1} e v_1:
\frac{A_2}{A_1}=\frac{0,022}{0,15}=0,146666\ldots
v_1 = 0,146666\ldots \times 70\\ \mathrm{m/s} = 10,2666\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Para manter tudo claro, podemos anotar
v_1 \approx 10,2667\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora usamos a equação de Bernoulli (sem perdas) entre entrada (1) e saída (2). A forma comum é
p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante}.
Explicando os termos:
  • p é a pressão estática local (Pa),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • v é a velocidade (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • z é a elevação (m).
Como o bocal é horizontal, z_1=z_2 e os termos \rho g z cancelam. Então entre os pontos 1 e 2:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
A saída descarrega para a atmosfera, então p_2 = p_{\text{atm}}. A pressão manométrica desejada é
p_{\text{man}} = p_1 - p_{\text{atm}}.
Subtraindo p_{\text{atm}} dos dois lados da equação de Bernoulli e rearranjando:
p_{\text{man}} = \tfrac{1}{2}\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right).
Essa é a fórmula que vamos usar para calcular a pressão manométrica necessária.

Passo 4

Breve justificativa da hipótese de incompressibilidade (para você se sentir seguro na prova): o número de Mach é aproximadamente M = v_2 / c, com c\approx 343\\ \mathrm{m/s} (velocidade do som em condições padrão). Então
M \approx \frac{70}{343} \approx 0,204.
Como M<0,3, os efeitos de compressibilidade são pequenos e a aproximação de densidade constante é aceitável. Portanto usar Bernoulli e A v= const está apropriado.

Passo 5

Agora fazemos as contas numéricas na expressão obtida para p_{\text{man}}. Primeiro alguns termos intermediários (todos usando \rho=1,23\\ \mathrm{kg/m^3}):
\tfrac{1}{2}\rho = \tfrac{1}{2}\times 1,23 = 0,615\\ \mathrm{kg/(m\cdot s^2)}.
Velocidades ao quadrado:
v_2^2 = 70^2 = 4\,900\\ \mathrm{(m^2/s^2)},
v_1^2 \approx 10,2667^2 \approx 105,41778\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Diferença das velocidades ao quadrado:
v_2^2 - v_1^2 \approx 4\,900 - 105,41778 = 4\,794,58222\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Substituindo na expressão de p_{\text{man}} obtemos a multiplicação que dá a pressão manométrica:
p_{\text{man}} = 0,615 \times 4\,794,58222\\ \mathrm{Pa}.
O produto final eu apresento na seção de resposta abaixo.

Resposta

p_{\text{man}} \approx 2\,948,67\\ \mathrm{Pa} \approx 2,95\\ \mathrm{kPa}

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