Ar escoa em regime permanente através de um bocal horizontal (equipamento utilizado para acelerar um escoamento) que o descarrega para a atmosfera. Na entrada do bocal, a área é
, na saída,
. Determine a pressão manométrica necessária na entrada do bocal para produzir uma velocidade de saida de
. Para o ar na condição padrão a massa específica é de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta.
Dados conhecidos:
- O bocal é horizontal e o escoamento é permanente.
- A saída descarrega para a atmosfera (logo a pressão na saída é a pressão atmosférica).
O que o enunciado pede:
- Determinar a pressão manométrica na entrada do bocal, isto é,
, necessária para produzir na saída.
Passo 2
Conservação da massa (equação da continuidade) para escoamento permanente: a vazão mássica
é constante. A expressão geral é
Como a densidade
é a mesma em entrada e saída (assumimos ar praticamente incompressível aqui), a equação simplifica para
Isolando
obtemos
Agora calculamos
e
:
Para manter tudo claro, podemos anotar
Passo 3
Agora usamos a equação de Bernoulli (sem perdas) entre entrada (1) e saída (2). A forma comum é
Explicando os termos:
-
é a pressão estática local (Pa), -
é a densidade do fluido ( ), -
é a velocidade (m/s), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a elevação (m).
Como o bocal é horizontal,
e os termos
cancelam. Então entre os pontos 1 e 2:
A saída descarrega para a atmosfera, então
. A pressão manométrica desejada é
Subtraindo
dos dois lados da equação de Bernoulli e rearranjando:
Essa é a fórmula que vamos usar para calcular a pressão manométrica necessária.
Passo 4
Breve justificativa da hipótese de incompressibilidade (para você se sentir seguro na prova): o número de Mach é aproximadamente
, com
(velocidade do som em condições padrão). Então
Como
, os efeitos de compressibilidade são pequenos e a aproximação de densidade constante é aceitável. Portanto usar Bernoulli e
const está apropriado.
Passo 5
Agora fazemos as contas numéricas na expressão obtida para
. Primeiro alguns termos intermediários (todos usando
):
Velocidades ao quadrado:
Diferença das velocidades ao quadrado:
Substituindo na expressão de
obtemos a multiplicação que dá a pressão manométrica:
O produto final eu apresento na seção de resposta abaixo.