[2,50] Um canal retangular com 5,0 m de largura transporta uma vazão de 6,40 m^{3} s^{-1} com uma altura d’água de 0,80 m. Em uma determinada seção ajusante existe um rebaixamento suave de 0,15 \mathrm{~m} no leito, e a largura do canal é reduzida para 3,00 \mathrm{~m}. Com esta alteração, a altura.d’água a montante será alterada? Se sim, calcular a variação na altura \Delta y. Desprezar perdas de carga na transição.
Degans (T)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede: verificar se a altura d’água a montante muda e, em caso afirmativo, calcular a variação \Delta y.
Dados fornecidos (todos em TeX):
Q=6,40\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}},\quad B_{1}=5,0\\ \mathrm{m},\quad y_{1,\,\text{inicial}}=0,80\\ \mathrm{m},
\text{no trecho ajusante: }\Delta z=-0,15\\ \mathrm{m}\\ (\text{o leito foi rebaixado }0,15\\ \mathrm{m}),\quad B_{2}=3,00\\ \mathrm{m}.
Pergunta: a altura a montante será alterada? Se sim, calcular \Delta y=y_{1,\text{novo}}-y_{1,\text{inicial}}. Desprezar perdas de carga.

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática, passo a passo):
  • Em escoamento permanente sem perdas entre duas seções horizontais quaisquer, a equação de Bernoulli reduzida, para canais abertos, dá a conservação da energia total entre as seções:
z + E = \text{constante},
onde z é a cota do fundo (leito) e E é a energia específica (specific energy) relativa ao leito, definida por
E(y)=y+\frac{V^{2}}{2g}.
Aqui y é a altura d’água (profundidade), V é a velocidade média na seção, e g é a aceleração da gravidade ( g=9,81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}). A velocidade média é V=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{Q}{B\,y} para um canal retangular de largura B.
  • Assim podemos escrever para cada seção:
E(y)=y+\frac{Q^{2}}{2g\,B^{2}\,y^{2}}.
  • Importante: para um dado Q e B, a energia específica E(y) tem um mínimo (energia crítica) na profundidade crítica y_{c}. Para canal retangular a profundidade crítica satisfaz
\frac{Q^{2}}{g\,B^{2}\,y_{c}^{3}}=1 \quad\Rightarrow\quad y_{c}=\left(\frac{Q^{2}}{g\,B^{2}}\right)^{1/3},
e a energia mínima (na condição crítica) vale
E_{c}=y_{c}+\frac{V^{2}}{2g}\Big|_{\text{crit}}=y_{c}+\frac{y_{c}}{2}=\tfrac{3}{2}\,y_{c}.
  • Física rápida e intuição: se a energia disponível no escoamento a montante, transformada pelas mudanças de cota do leito, for insuficiente para acomodar a seção contratada (isto é, se a energia requerida na seção contraída fosse menor que o mínimo permitido por essa seção), a seção contraída ficará em fluxo crítico (escoamento “engasgado”). Nesse caso a profundidade na seção contraída será a profundidade crítica e a profundidade a montante ajusta-se para satisfazer a conservação de energia.

Passo 3

Calcular a energia específica inicial a montante (antes da alteração), usando B_{1}=5,0\\ \mathrm{m} e y_{1}=0,80\\ \mathrm{m}.
Primeiro calculamos a constante do termo de velocidade para a seção 1:
C_{1}=\frac{Q^{2}}{2gB_{1}^{2}}=\frac{(6,40)^{2}}{2\cdot 9,81\cdot (5,0)^{2}}.
Calculando:
Q^{2}=6,40^{2}=40,96,
2gB_{1}^{2}=2\cdot 9,81\cdot 25=490,5,
C_{1}=\frac{40,96}{490,5}\approx 0,083492.
Portanto a energia específica montante inicial é
E_{1,\text{inicial}}=y_{1}+\frac{C_{1}}{y_{1}^{2}} =0,80+\frac{0,083492}{(0,80)^{2}}.
Calculemos o segundo termo: (0,80)^{2}=0,64, então \dfrac{0,083492}{0,64}\approx 0,13045. Logo
E_{1,\text{inicial}}\approx 0,80+0,13045=0,93045\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a profundidade crítica e a energia mínima na seção contraída B_{2}=3,00\\ \mathrm{m}.
Para B_{2}:
y_{c2}=\left(\frac{Q^{2}}{g\,B_{2}^{2}}\right)^{1/3} =\left(\frac{40,96}{9,81\cdot 9}\right)^{1/3}.
Calculemos a razão interna: 9,81\cdot 9=88,29, então 40,96/88,29\approx 0,46372. A raiz cúbica dá
y_{c2}\approx 0,7737\\ \mathrm{m}.
A energia mínima (energia crítica) na seção 2 é
E_{c2}=\tfrac{3}{2}\,y_{c2}\approx 1{,}5\cdot 0{,}7737\approx 1{,}1606\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Aplicar conservação de energia entre montante (seção 1) e a seção contraída (seção 2), lembrando o rebaixamento do leito \Delta z=-0,15\\ \mathrm{m} (ou seja z_{2}=z_{1}-0,15).
A conservação dá:
z_{1}+E_{1}=z_{2}+E_{2} \quad\Rightarrow\quad E_{2}=E_{1}+(z_{1}-z_{2})=E_{1}-\Delta z.
Como \Delta z=z_{2}-z_{1}=-0,15\\ \mathrm{m}, temos z_{1}-z_{2}=+0,15\\ \mathrm{m}. Então a energia requerida na seção 2, se o E_{1} permanecesse igual ao inicial, seria
E_{2,\text{requerida}}=E_{1,\text{inicial}}+0{,}15 \approx 0{,}93045+0{,}15=1{,}08045\\ \mathrm{m}.
Comparando com a energia mínima da seção 2,
E_{2,\text{requerida}}=1{,}08045\\ \mathrm{m}<E_{c2}=1{,}1606\\ \mathrm{m}.
Conclusão física importante: a energia disponível para a seção contraída (considerando o rebaixamento do leito) seria menor que a energia mínima que essa seção exige para um escoamento contínuo subcrítico/supercrítico. Isso é impossível sem perda de energia; o efeito físico é que a seção contraída fica em condição crítica (escoamento engasgado) com E_{2}=E_{c2} e profundidade y_{2}=y_{c2}. Em outras palavras, a contração + rebaixamento torna a seção ajusante crítica e força um ajuste da superfície a montante.

Passo 6

Adotar E_{2}=E_{c2} (escoamento crítico na seção 2) e determinar a nova energia montante E_{1,\text{novo}} pela conservação:
E_{1,\text{novo}}=E_{2}+z_{2}-z_{1}=E_{c2}+\Delta z_{(1\leftarrow2)}.
Usando \Delta z_{(1\leftarrow2)}=z_{2}-z_{1}=-0{,}15\\ \mathrm{m} (atenção aos sinais; reescrevemos convenientemente):
Mais direto: da equação z_{1}+E_{1}=z_{2}+E_{2} com z_{1}=0 de referência,
E_{1,\text{novo}}=E_{2}+z_{2}-z_{1}=E_{c2}-0{,}15.
Portanto
E_{1,\text{novo}}=1{,}1606-0{,}15=1{,}0106\\ \mathrm{m}.
Agora encontramos a nova profundidade montante y_{1,\text{novo}} resolvendo a equação da energia específica para a seção 1:
E_{1,\text{novo}}=y_{1}+\frac{C_{1}}{y_{1}^{2}},
ou seja
y_{1}+\frac{0{,}083492}{y_{1}^{2}}=1{,}0106.
Devemos resolver numericamente essa equação (explico o método: testar valores e interpolar; é simples e adequado para prova sem calculadora basicamente por tentativa).
Testes (mostro alguns passos de tentativa):
  • y_{1}=0{,}80\Rightarrow E=0{,}80+\dfrac{0{,}083492}{0{,}64}=0{,}93045 (já sabíamos, é menor que 1{,}0106).
  • y_{1}=1{,}00\Rightarrow E=1{,}00+\dfrac{0{,}083492}{1{,}00}=1{,}08349 (maior).
    Logo a solução está entre 0{,}80 e 1{,}00.
Refinando:
  • y_{1}=0{,}90\Rightarrow y_{1}^{2}=0{,}81, termo velocidade =0{,}083492/0{,}81\approx 0{,}1031, então E\approx 0{,}90+0{,}1031=1{,}0031 (ainda um pouco menor que 1{,}0106).
  • y_{1}=0{,}91\Rightarrow y_{1}^{2}=0{,}8281, termo velocidade =0{,}083492/0{,}8281\approx 0{,}10084, então E\approx 0{,}91+0{,}10084=1{,}01084 (ligeiramente maior que 1{,}0106).
Interpolando entre 0{,}90 e 0{,}91 vemos que a solução está bem próxima de y_{1}\approx 0{,}9098\\ \mathrm{m}. Tomando y_{1,\text{novo}}\approx 0{,}910\\ \mathrm{m} com precisão prática para prova.

Passo 7

Calcular a variação da altura a montante:
\Delta y = y_{1,\text{novo}}-y_{1,\text{inicial}} \approx 0{,}910-0{,}800=0{,}110\\ \mathrm{m}.
Arredondando com duas casas decimais: \Delta y\approx 0{,}11\\ \mathrm{m}. Interpretação: a altura d’água a montante aumenta (backwater) cerca de 0{,}11\\ \mathrm{m} porque a contração + rebaixamento engasgaram o escoamento tornando a seção ajusante crítica.

Resposta

\Delta y=0,11\\ \mathrm{m}

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