A Transformada Z da sequência x(k)=\left\{\begin{array}{cl}-\frac{1}{2} k \cos \left(k \frac{\pi}{2}\right) & ; \quad k \geq 0 \\\\ 0 \quad ; & k<0\end{array}\right. é da forma X(z)=\frac{a z^{m}}{\left(b z^{n}+c\right)^{2}}. Encontre os valores de " a " ; ~ " ~ \mathrm{~b} " ; ~ " ~ с " ; " ~ m " ~ e " ~ n " .(2,5с Pontos)
X(z)=-\frac{1}{4}\left(\sum_{k=0}^{\infty} k (j^{k} z^{-k}) + \sum_{k=0}^{\infty} k ((-j)^{k} z^{-k})\right).
Cada soma é do tipo \sum_{k=0}^{\infty} k r^{k} com r=j z^{-1} ou r=-j z^{-1}. Lembre a fórmula (que vamos explicar):
\sum_{k=0}^{\infty} k r^{k}=\frac{r}{(1-r)^{2}},\qquad \text{para }|r|<1.
Breve explicação dessa fórmula: a soma geométrica é \sum_{k=0}^\infty r^k=\dfrac{1}{1-r}. Derivando ambos os lados em relação a r e multiplicando por r obtém-se \sum_{k=0}^\infty k r^k=\dfrac{r}{(1-r)^2}. Aqui r é um número complexo com |r|<1 para garantir convergência.
Passo 6
Aplique a fórmula com r_1=j z^{-1} e r_2=-j z^{-1}:
\sum_{k=0}^{\infty} k (j^{k} z^{-k})=\frac{j z^{-1}}{\big(1-j z^{-1}\big)^{2}}, \qquad \sum_{k=0}^{\infty} k ((-j)^{k} z^{-k})=\frac{-j z^{-1}}{\big(1+ j z^{-1}\big)^{2}}.
O denominador é (z-j)^{2}(z+j)^{2}=(z^{2}+1)^{2}. Logo a diferença vale \dfrac{4jz}{(z^{2}+1)^{2}}. Substituindo em X(z):
X(z)=-\frac{j}{4}z\cdot\frac{4jz}{(z^{2}+1)^{2}}.
Passo 9
Simplifique o fator complexo: -\dfrac{j}{4}\cdot 4j = -j\cdot j = -j^{2}=1. Assim
X(z)=\frac{z^{2}}{(z^{2}+1)^{2}}.
Esta é a forma racional final da transformada Z.
Passo 10
Compare com a forma pedida \dfrac{a z^{m}}{(b z^{n}+c)^{2}}. Aqui vemos claramente:
X(z)=\frac{1\cdot z^{2}}{(1\cdot z^{2}+1)^{2}}.
Portanto os parâmetros são a=1, m=2, b=1, n=2, c=1. Observação rápida sobre convergência: as somas intermediárias exigem |j z^{-1}|<1\Rightarrow |z|>1, então a ROC é |z|>1.