1. A Transformada Z da sequência x(k)=\left\{\begin{array}{cl}-\frac{1}{2} k \cos \left(k \frac{\pi}{2}\right) & ; \quad k \geq 0 \\\\ 0 \quad ; & k<0\end{array}\right. é da forma X(z)=\frac{a z^{m}}{\left(b z^{n}+c\right)^{2}}. Encontre os valores de " a " ; ~ " ~ \mathrm{~b} " ; ~ " ~ с " ; " ~ m " ~ e " ~ n " .(2,5с Pontos)

Passo 1

O enunciado fornece a sequência
x(k)=\begin{cases} -\dfrac{1}{2}\,k\cos\!\left(k\dfrac{\pi}{2}\right), & k\ge 0,\\[6pt] 0, & k<0, \end{cases}
e diz que sua transformada Z tem a forma
X(z)=\frac{a\,z^{m}}{\left(b\,z^{n}+c\right)^{2}}.
A tarefa é encontrar os valores de a, b, c, m e n.]

Passo 2

Escrevemos a definição da transformada Z para uma sequência causal (zero para k<0):
X(z)=\sum_{k=0}^{\infty} x(k)\,z^{-k}.
Aqui z é a variável complexa da transformada e z^{-k} multiplica cada termo da sequência ao somarmos sobre k.

Passo 3

Substituímos x(k) na soma:
X(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}k\cos\!\left(k\frac{\pi}{2}\right)\right)z^{-k} =-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} k\cos\!\left(k\frac{\pi}{2}\right) z^{-k}.

Passo 4

Vamos escrever \cos\!\left(k\frac{\pi}{2}\right) em termos de exponenciais complexas para simplificar a soma. Usando
\cos(\theta)=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}
com \theta=k\frac{\pi}{2}, obtemos
\cos\!\left(k\frac{\pi}{2}\right)=\frac{e^{j k\pi/2}+e^{-j k\pi/2}}{2}=\frac{j^{k}+(-j)^{k}}{2},
pois e^{j\pi/2}=j e e^{-j\pi/2}=-j. Substituindo na soma:
X(z)=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} k\cdot\frac{j^{k}+(-j)^{k}}{2}\,z^{-k} =-\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{\infty} k\big(j^{k}+(-j)^{k}\big)z^{-k}.

Passo 5

Separe as duas somas:
X(z)=-\frac{1}{4}\left(\sum_{k=0}^{\infty} k (j^{k} z^{-k}) + \sum_{k=0}^{\infty} k ((-j)^{k} z^{-k})\right).
Cada soma é do tipo \sum_{k=0}^{\infty} k r^{k} com r=j z^{-1} ou r=-j z^{-1}. Lembre a fórmula (que vamos explicar):
\sum_{k=0}^{\infty} k r^{k}=\frac{r}{(1-r)^{2}},\qquad \text{para }|r|<1.
Breve explicação dessa fórmula: a soma geométrica é \sum_{k=0}^\infty r^k=\dfrac{1}{1-r}. Derivando ambos os lados em relação a r e multiplicando por r obtém-se \sum_{k=0}^\infty k r^k=\dfrac{r}{(1-r)^2}. Aqui r é um número complexo com |r|<1 para garantir convergência.

Passo 6

Aplique a fórmula com r_1=j z^{-1} e r_2=-j z^{-1}:
\sum_{k=0}^{\infty} k (j^{k} z^{-k})=\frac{j z^{-1}}{\big(1-j z^{-1}\big)^{2}}, \qquad \sum_{k=0}^{\infty} k ((-j)^{k} z^{-k})=\frac{-j z^{-1}}{\big(1+ j z^{-1}\big)^{2}}.
Portanto
X(z)=-\frac{1}{4}\left(\frac{j z^{-1}}{(1-j z^{-1})^{2}}+\frac{-j z^{-1}}{(1+ j z^{-1})^{2}}\right) =-\frac{j}{4}z^{-1}\left(\frac{1}{(1-j z^{-1})^{2}}-\frac{1}{(1+ j z^{-1})^{2}}\right).

Passo 7

Agora simplificamos expressando os termos em função de z sem potências negativas. Note que
1-j z^{-1}=\frac{z-j}{z}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{(1-j z^{-1})^{2}}=\frac{z^{2}}{(z-j)^{2}},
e similarmente
\frac{1}{(1+ j z^{-1})^{2}}=\frac{z^{2}}{(z+j)^{2}}.
Substituindo em X(z):
X(z)=-\frac{j}{4}z^{-1}\left(\frac{z^{2}}{(z-j)^{2}}-\frac{z^{2}}{(z+j)^{2}}\right) =-\frac{j}{4}z\left(\frac{1}{(z-j)^{2}}-\frac{1}{(z+j)^{2}}\right).

Passo 8

Calcule a diferença das frações:
\frac{1}{(z-j)^{2}}-\frac{1}{(z+j)^{2}}=\frac{(z+j)^{2}-(z-j)^{2}}{(z-j)^{2}(z+j)^{2}}.
Expanda o numerador:
(z+j)^{2}-(z-j)^{2}= (z^{2}+2jz+j^{2})-(z^{2}-2jz+j^{2})=4jz.
O denominador é (z-j)^{2}(z+j)^{2}=(z^{2}+1)^{2}. Logo a diferença vale \dfrac{4jz}{(z^{2}+1)^{2}}. Substituindo em X(z):
X(z)=-\frac{j}{4}z\cdot\frac{4jz}{(z^{2}+1)^{2}}.

Passo 9

Simplifique o fator complexo: -\dfrac{j}{4}\cdot 4j = -j\cdot j = -j^{2}=1. Assim
X(z)=\frac{z^{2}}{(z^{2}+1)^{2}}.
Esta é a forma racional final da transformada Z.

Passo 10

Compare com a forma pedida \dfrac{a z^{m}}{(b z^{n}+c)^{2}}. Aqui vemos claramente:
X(z)=\frac{1\cdot z^{2}}{(1\cdot z^{2}+1)^{2}}.
Portanto os parâmetros são a=1, m=2, b=1, n=2, c=1. Observação rápida sobre convergência: as somas intermediárias exigem |j z^{-1}|<1\Rightarrow |z|>1, então a ROC é |z|>1.

Resposta

a=1
b=1
c=1
m=2
n=2

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