+2.54 Estime qual é a mínima profundidade de água necessária para que uma canoa que transporta duas pessoas flutue. Faça uma relação com todas as hipóteses utilizadas na solução do problema.
Passo 1
O enunciado pede que eu estime a mínima profundidade de água necessária para que uma canoa que transporta duas pessoas flutue. Informações/condições explicitamente dadas ou imediatamente óbvias: (i) a embarcação é uma canoa com duas pessoas a bordo; (ii) devemos estimar (não calcular com dados exatos) a profundidade mínima de água para que a canoa flutue — isto é, a profundidade mínima igual ao calado (raso) necessário para deslocar água suficiente para sustentar o peso da canoa mais das duas pessoas. Não há outras informações numéricas no enunciado, então terei que assumir/estimar valores típicos (essas hipóteses serão listadas e discutidas nas etapas seguintes).
Passo 2
Princípio físico que usamos (explicação didática): o Princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo sobre um corpo imerso parcial ou totalmente em um fluido é igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo. Em palavras simples: para a canoa flutuar sem afundar, o peso total (canoa + pessoas) deve ser igual ao peso da água que a canoa desloca.
Definições das grandezas que vamos usar:
-
: massa total que precisa ser sustentada (massa da canoa + massa das duas pessoas), em quilogramas. -
: densidade da água, em . Usaremos o valor típico de água doce: . -
: volume de água deslocado pela canoa, em . -
: aceleração da gravidade, em . Notamos que aparece tanto no peso quanto no empuxo e, portanto, cancela na relação de equilíbrio; por isso não precisamos de um valor numérico preciso para . -
: comprimento útil da canoa, em metros. -
: largura média (boca) da canoa na linha d’água, em metros. -
: profundidade (calado) de imersão média do casco — este é o que queremos estimar, em metros.
Relação fundamental (derivada do princípio de Arquimedes): o empuxo (=peso da água deslocada) iguala o peso da carga:
Cancelando
,
Passo 3
Modelo geométrico simples para relacionar o volume deslocado com o calado
: para uma estimativa rápida, aproximamos a parte submersa da canoa por um prisma retangular de base
e altura
. Ou seja,
Assim isolamos
:
Comentário didático: esse modelo é uma aproximação grosseira — canoas têm casco curvo e a área submersa varia com
— mas para estimativa de ordem de grandeza é muito útil porque nos dá uma fórmula simples e transparente. Depois vou discutir como a curvatura do casco e outras hipóteses afetam o resultado.
Passo 4
Escolha e justificativa das estimativas numéricas (hipóteses):
- massa das duas pessoas: pessoas adultas típicas, escolho
cada como valor médio. Então massa total das pessoas:
(hipótese: duas pessoas de tamanho médio; se as pessoas forem significativamente mais pesadas, o resultado aumenta proporcionalmente).
- massa da canoa vazia: canoas leves (de fibra/caiaque) podem pesar
, canoas de madeira maiores podem ser . Vou escolher um valor intermediário e conservador: . - portanto massa total:
- dimensões típicas de uma canoa de passeio: comprimento
tipicamente entre e . Vou usar (valor típico e fácil de manejar). - largura média (boca)
: canoas são estreitas; uma largura típica é a . Vou usar . - densidade da água:
(água doce, temperatura ambiente).
Resumo das hipóteses numéricas:
Passo 5
Cálculo passo a passo usando a fórmula
.
Primeiro o volume deslocado:
Agora a área horizontal aproximada:
Finalmente o calado
:
Arredondando para algarismos significativos razoáveis numa estimativa,
Passo 6
Interpretação e discussão das hipóteses — quais efeitos cada hipótese tem no resultado:
- aproximação retangular
: na verdade o casco tem seção transversal curvada (v- ou em U) — isso significa que, para um dado calado , a área submersa real é menor do que (porque parte da “caixa” retangular está ar livre). Logo, a aproximação retangular tende a subestimar o calado necessário: o calado real será um pouco maior que o valor obtido aqui. Em outras palavras, o nosso é uma estimativa otimista (menor) do calado real. - massa das pessoas e da canoa: se as pessoas forem mais pesadas (por exemplo
cada) ou se a canoa for mais pesada, aumenta linearmente e aumenta proporcionalmente. Por exemplo, para teríamos . - dimensões
e : se a canoa for mais curta ou mais estreita, diminui e aumenta. Portanto canoas menores demandam mais calado para a mesma carga. - densidade da água: em água salgada
é maior (≈ ), o que reduziria ligeiramente o calado necessário; em água doce muito quente/ menos densa, o calado necessário aumenta. - equilíbrio longitudinal e ponto de aplicação da carga: se as pessoas ficarem muito próximas (concentrando o peso), a canoa pode nivelar inclinando-se e uma extremidade pode achar fundo com menor profundidade; aqui assumimos distribuição razoavelmente uniforme e barco nivelado.
- ondas, movimento e segurança: em água com ondas ou com movimentos da carga, é necessário mais folga (margem) para evitar que água entre na canoa; portanto a profundidade “mínima prática” para navegar com segurança será maior que o calado teórico.
Passo 7
Estimativa de ordem de grandeza e margem prática: nossa estimativa teórica de calado é de cerca de
. Levando em conta a curvatura do casco (que aumenta o calado necessário) e a necessidade de folga para não encharcar a canoa, uma profundidade prática mínima seria tipicamente pelo menos o dobro ou três vezes esse valor para ter segurança. Mas como o enunciado pede a mínima profundidade para flutuar (matematicamente), o valor relevante é o calado teórico.