+2.54 Estime qual é a mínima profundidade de água necessária para que uma canoa que transporta duas pessoas flutue. Faça uma relação com todas as hipóteses utilizadas na solução do problema.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a mínima profundidade de água necessária para que uma canoa que transporta duas pessoas flutue. Informações/condições explicitamente dadas ou imediatamente óbvias: (i) a embarcação é uma canoa com duas pessoas a bordo; (ii) devemos estimar (não calcular com dados exatos) a profundidade mínima de água para que a canoa flutue — isto é, a profundidade mínima igual ao calado (raso) necessário para deslocar água suficiente para sustentar o peso da canoa mais das duas pessoas. Não há outras informações numéricas no enunciado, então terei que assumir/estimar valores típicos (essas hipóteses serão listadas e discutidas nas etapas seguintes).

Passo 2

Princípio físico que usamos (explicação didática): o Princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo sobre um corpo imerso parcial ou totalmente em um fluido é igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo. Em palavras simples: para a canoa flutuar sem afundar, o peso total (canoa + pessoas) deve ser igual ao peso da água que a canoa desloca.
Definições das grandezas que vamos usar:
  • M: massa total que precisa ser sustentada (massa da canoa + massa das duas pessoas), em quilogramas.
  • \rho: densidade da água, em \mathrm{kg/m^3}. Usaremos o valor típico de água doce: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • V_{\text{des}}: volume de água deslocado pela canoa, em \mathrm{m^3}.
  • g: aceleração da gravidade, em \mathrm{m/s^2}. Notamos que g aparece tanto no peso quanto no empuxo e, portanto, cancela na relação de equilíbrio; por isso não precisamos de um valor numérico preciso para g.
  • L: comprimento útil da canoa, em metros.
  • W: largura média (boca) da canoa na linha d’água, em metros.
  • d: profundidade (calado) de imersão média do casco — este é o que queremos estimar, em metros.
Relação fundamental (derivada do princípio de Arquimedes): o empuxo (=peso da água deslocada) iguala o peso da carga:
\rho\,V_{\text{des}}\,g = M\,g.
Cancelando g,
V_{\text{des}} = \frac{M}{\rho}.

Passo 3

Modelo geométrico simples para relacionar o volume deslocado com o calado d: para uma estimativa rápida, aproximamos a parte submersa da canoa por um prisma retangular de base L\times W e altura d. Ou seja,
V_{\text{des}} \approx L\,W\,d.
Assim isolamos d:
d \approx \frac{V_{\text{des}}}{L\,W} = \frac{M}{\rho\,L\,W}.
Comentário didático: esse modelo é uma aproximação grosseira — canoas têm casco curvo e a área submersa varia com d — mas para estimativa de ordem de grandeza é muito útil porque nos dá uma fórmula simples e transparente. Depois vou discutir como a curvatura do casco e outras hipóteses afetam o resultado.

Passo 4

Escolha e justificativa das estimativas numéricas (hipóteses):
  • massa das duas pessoas: pessoas adultas típicas, escolho 75\\ \mathrm{kg} cada como valor médio. Então massa total das pessoas:
M_{\text{pessoas}} = 2\times 75\\ \mathrm{kg} = 150\\ \mathrm{kg}.
(hipótese: duas pessoas de tamanho médio; se as pessoas forem significativamente mais pesadas, o resultado aumenta proporcionalmente).
  • massa da canoa vazia: canoas leves (de fibra/caiaque) podem pesar \sim 15\text{–}25\\ \mathrm{kg}, canoas de madeira maiores podem ser \sim 30\text{–}50\\ \mathrm{kg}. Vou escolher um valor intermediário e conservador: M_{\text{canoa}} = 35\\ \mathrm{kg}.
  • portanto massa total:
M = M_{\text{pessoas}} + M_{\text{canoa}} = 150 + 35 = 185\\ \mathrm{kg}.
  • dimensões típicas de uma canoa de passeio: comprimento L tipicamente entre 3,5\\ \mathrm{m} e 5\\ \mathrm{m}. Vou usar L=4{,}0\\ \mathrm{m} (valor típico e fácil de manejar).
  • largura média (boca) W: canoas são estreitas; uma largura típica é 0{,}7\\ \mathrm{m} a 0{,}9\\ \mathrm{m}. Vou usar W=0{,}8\\ \mathrm{m}.
  • densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} (água doce, temperatura ambiente).
Resumo das hipóteses numéricas:
M=185\\ \mathrm{kg},\quad L=4{,}0\\ \mathrm{m},\quad W=0{,}8\\ \mathrm{m},\quad \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 5

Cálculo passo a passo usando a fórmula d \approx \dfrac{M}{\rho\,L\,W}.
Primeiro o volume deslocado:
V_{\text{des}} = \frac{M}{\rho} = \frac{185\\ \mathrm{kg}}{1000\\ \mathrm{kg/m^3}} = 0{,}185\\ \mathrm{m^3}.
Agora a área horizontal aproximada:
L\,W = 4{,}0\\ \mathrm{m}\times 0{,}8\\ \mathrm{m} = 3{,}2\\ \mathrm{m^2}.
Finalmente o calado d:
d \approx \frac{V_{\text{des}}}{L\,W} = \frac{0{,}185\\ \mathrm{m^3}}{3{,}2\\ \mathrm{m^2}} = 0{,}0578125\\ \mathrm{m}.
Arredondando para algarismos significativos razoáveis numa estimativa,
d \approx 0{,}058\\ \mathrm{m} \approx 5{,}8\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Interpretação e discussão das hipóteses — quais efeitos cada hipótese tem no resultado:
  • aproximação retangular V_{\text{des}}\approx L W d: na verdade o casco tem seção transversal curvada (v- ou em U) — isso significa que, para um dado calado d, a área submersa real é menor do que L W\cdot d (porque parte da “caixa” retangular está ar livre). Logo, a aproximação retangular tende a subestimar o calado necessário: o calado real será um pouco maior que o valor obtido aqui. Em outras palavras, o nosso 0{,}058\\ \mathrm{m} é uma estimativa otimista (menor) do calado real.
  • massa das pessoas e da canoa: se as pessoas forem mais pesadas (por exemplo 80\\ \mathrm{kg} cada) ou se a canoa for mais pesada, M aumenta linearmente e d aumenta proporcionalmente. Por exemplo, para M=200\\ \mathrm{kg} teríamos d\approx 0{,}0625\\ \mathrm{m}.
  • dimensões L e W: se a canoa for mais curta ou mais estreita, L W diminui e d aumenta. Portanto canoas menores demandam mais calado para a mesma carga.
  • densidade da água: em água salgada \rho é maior (≈ 1025\\ \mathrm{kg/m^3}), o que reduziria ligeiramente o calado necessário; em água doce muito quente/ menos densa, o calado necessário aumenta.
  • equilíbrio longitudinal e ponto de aplicação da carga: se as pessoas ficarem muito próximas (concentrando o peso), a canoa pode nivelar inclinando-se e uma extremidade pode achar fundo com menor profundidade; aqui assumimos distribuição razoavelmente uniforme e barco nivelado.
  • ondas, movimento e segurança: em água com ondas ou com movimentos da carga, é necessário mais folga (margem) para evitar que água entre na canoa; portanto a profundidade “mínima prática” para navegar com segurança será maior que o calado teórico.

Passo 7

Estimativa de ordem de grandeza e margem prática: nossa estimativa teórica de calado é de cerca de 5{,}8\\ \mathrm{cm}. Levando em conta a curvatura do casco (que aumenta o calado necessário) e a necessidade de folga para não encharcar a canoa, uma profundidade prática mínima seria tipicamente pelo menos o dobro ou três vezes esse valor para ter segurança. Mas como o enunciado pede a mínima profundidade para flutuar (matematicamente), o valor relevante é o calado teórico.

Resposta

0,058\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados