O ar escoa através de um tubo a uma vazão de
. O tubo consiste em duas seções de 22 cm e de 10 cm de diâmetro com uma seção de redução suave que as conecta. A diferença de pressão entre as duas seç̧ões do tubo é medida por um manômetro de água. Desprezando atritos, determine:
a)
A expressão algébrica para calcular a altura diferencial de água entre as duas seções da tubulação em função da vazão no SI.
b)
O valor da altura em metros.
Tome a densidade do ar como
.
a)
b)
Tome a densidade do ar como
Passo 1
O enunciado pede a diferença de altura do líquido do manômetro (altura diferencial) entre duas seções de um tubo, desprezando atritos. Dados fornecidos (vou listá‑los em SI):
Além disso usarei a massa específica da água
e a gravidade
. O que se pede:
(a) expressão algébrica para a altura diferencial do manômetro em função de
(no SI);
(b) valor numérico de em metros.
(a) expressão algébrica para a altura diferencial
(b) valor numérico de
Passo 2
Relação de conservação de massa (continuidade) para escoamento incompressível e uniforme em cada seção:
onde
é a área da seção
e
é a velocidade média nessa seção. Assim
(Explicando rápido: a área de um círculo é
; velocidade média é vazão dividida pela área.)
Passo 3
Bernoulli entre as duas seções (escoamento estacionário, sem atrito, mesmas cota aproximadas) dá:
Rearranjando:
(Interpretação: a diferença de pressão é causada pela diferença de energia cinética entre as duas seções.)
Passo 4
Relação do manômetro (estática do líquido do manômetro): a diferença de pressão entre as tomadas é equilibrada pela coluna de água:
onde
é a altura diferencial de água medida. Igualando com a expressão de Bernoulli:
Portanto a expressão para
em função de
(substituindo
em termos de
) é
Podemos simplificar a expressão para ficar mais compacta. Como
, obtemos a forma
que é a expressão algébrica pedida (função de
,
,
,
,
e
).
Passo 5
Agora calculamos numericamente passo a passo.
Áreas (apenas para conferir velocidades):
Velocidades:
Diferença das energias cinéticas:
Diferença de pressão pela equação de Bernoulli:
Altura do manômetro:
Resposta
(a)
(b)