O ar escoa através de um tubo a uma vazão de 220 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. O tubo consiste em duas seções de 22 cm e de 10 cm de diâmetro com uma seção de redução suave que as conecta. A diferença de pressão entre as duas seç̧ões do tubo é medida por um manômetro de água. Desprezando atritos, determine:
a) (1,5) A expressão algébrica para calcular a altura diferencial de água entre as duas seções da tubulação em função da vazão no SI.
b) (1,0) O valor da altura em metros.
Tome a densidade do ar como 1,10 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a diferença de altura do líquido do manômetro (altura diferencial) entre duas seções de um tubo, desprezando atritos. Dados fornecidos (vou listá‑los em SI):
Q=220\\ \mathrm{L/s}=0{,}220\\ \mathrm{m^3/s},
D_1=22\\ \mathrm{cm}=0{,}22\\ \mathrm{m},
D_2=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m},
\rho_{\text{ar}}=1{,}10\\ \mathrm{kg/m^3}.
Além disso usarei a massa específica da água \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e a gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. O que se pede:
(a) expressão algébrica para a altura diferencial h do manômetro em função de Q (no SI);
(b) valor numérico de h em metros.

Passo 2

Relação de conservação de massa (continuidade) para escoamento incompressível e uniforme em cada seção:
Q=A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A_i=\dfrac{\pi D_i^2}{4} é a área da seção i e v_i é a velocidade média nessa seção. Assim
v_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{4Q}{\pi D_1^2},\qquad v_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{4Q}{\pi D_2^2}.
(Explicando rápido: a área de um círculo é \pi D^2/4; velocidade média é vazão dividida pela área.)

Passo 3

Bernoulli entre as duas seções (escoamento estacionário, sem atrito, mesmas cota aproximadas) dá:
p_1+\tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} v_1^2 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} v_2^2.
Rearranjando:
p_1-p_2=\tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}}\left(v_2^2-v_1^2\right).
(Interpretação: a diferença de pressão é causada pela diferença de energia cinética entre as duas seções.)

Passo 4

Relação do manômetro (estática do líquido do manômetro): a diferença de pressão entre as tomadas é equilibrada pela coluna de água:
p_1-p_2=\rho_w g h,
onde h é a altura diferencial de água medida. Igualando com a expressão de Bernoulli:
\rho_w g h = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}}\left(v_2^2-v_1^2\right).
Portanto a expressão para h em função de Q (substituindo v_i em termos de Q) é
h=\frac{\tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}}\left(v_2^2-v_1^2\right)}{\rho_w g} =\frac{\tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}}}{\rho_w g}\left[\left(\frac{4Q}{\pi D_2^2}\right)^2-\left(\frac{4Q}{\pi D_1^2}\right)^2\right].
Podemos simplificar a expressão para ficar mais compacta. Como \left(\dfrac{4Q}{\pi D^2}\right)^2=\dfrac{16Q^2}{\pi^2 D^4}, obtemos a forma
\boxed{\,h=\frac{8\,\rho_{\text{ar}}\,Q^2}{\pi^2\,\rho_w\,g}\left(\frac{1}{D_2^4}-\frac{1}{D_1^4}\right)\,}
que é a expressão algébrica pedida (função de Q, D_1, D_2, \rho_{\text{ar}}, \rho_w e g).

Passo 5

Agora calculamos numericamente passo a passo.
Áreas (apenas para conferir velocidades):
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi(0{,}22)^2}{4}\approx0{,}038016\\ \mathrm{m^2},
A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi(0{,}10)^2}{4}\approx0{,}007854\\ \mathrm{m^2}.
Velocidades:
v_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{0{,}220}{0{,}038016}\approx5{,}788\\ \mathrm{m/s},
v_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{0{,}220}{0{,}007854}\approx28{,}02\\ \mathrm{m/s}.
Diferença das energias cinéticas:
v_2^2-v_1^2\approx(28{,}02)^2-(5{,}788)^2\approx785{,}12-33{,}51\approx751{,}61\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Diferença de pressão pela equação de Bernoulli:
p_1-p_2=\tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}}(v_2^2-v_1^2) =0{,}5\times1{,}10\times751{,}61\approx413{,}39\\ \mathrm{Pa}.
Altura do manômetro:
h=\frac{p_1-p_2}{\rho_w g}=\frac{413{,}39}{1000\times9{,}81}\approx0{,}04215\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) h=\frac{8\,\rho_{\text{ar}}\,Q^2}{\pi^2\,\rho_w\,g}\left(\frac{1}{D_2^4}-\frac{1}{D_1^4}\right)
(b) h\approx0{,}0422\\ \mathrm{m}

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