• 2.17 Apesar da água não ser facilmente comprimida, a massa específica da água no fundo do oceano é maior do que aquela na superfície (o aumento é devido a variação de pressão). Estime qual seria o aumento da superfície do oceano se a água se tornasse verdadeiramente incompressível e apresentasse uma massa específica igual aquela encontrada em sua superfície livre.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime o aumento da superfície do oceano caso a água se tornasse verdadeiramente incompressível e passasse a ter, em todo o volume, a massa específica igual àquela na superfície livre. Informações e escolhas que vou usar (estimar valores típicos porque o enunciado pede uma estimativa):
  • Profundidade média do oceano: h \approx 4{,}0\times10^{3}\,\mathrm{m} (valor típico usado em estimativas).
  • Massa específica na superfície: \rho_{0}\approx 1000\,\mathrm{kg/m^{3}}.
  • Aceleracao da gravidade: g=9{,}8\,\mathrm{m/s^{2}}.
  • Módulo de compressibilidade (módulo volumétrico) da água: K\approx 2{,}2\times10^{9}\,\mathrm{Pa} (valor típico para água).
  • Área atual dos oceanos (para transformar a fração em área absoluta): A_{\text{oceano}}\approx 3{,}61\times10^{8}\,\mathrm{km^{2}} (valor conhecido).
    O objetivo é calcular a fração de aumento da superfície (percentual) e, se quiser, converter isso em área adicional aproximada.

Passo 2

Conceito físico principal (aula rápida e suave): compressibilidade e módulo volumétrico.
  • O módulo volumétrico K relaciona a variação relativa de volume com a variação de pressão por
\frac{\Delta V}{V} = -\frac{\Delta p}{K}.
Aqui \Delta V/V é a variação relativa do volume devido a um aumento de pressão \Delta p. Sinal negativo significa que aumento de pressão reduz volume.
  • Como massa se conserva localmente, uma redução relativa de volume corresponde a aumento relativo de massa específica. Para pequenas variações:
\frac{\Delta \rho}{\rho}\approx -\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta p}{K}.
Explicando as variáveis: \rho é a massa específica local, \Delta p é o aumento de pressão relativo a superfície, K é o módulo volumétrico dado.

Passo 3

Pressão hidrostática (aula-prática): a pressão a uma profundidade z numa coluna de água de massa específica aproximada \rho_{0} é
p(z)=\rho_{0} g z.
Isso significa que a variação de pressão em profundidade z (relativa à superfície) é \Delta p(z)=\rho_{0} g z. Aqui z varia de 0 (superfície) até h (fundo).

Passo 4

Variação local da massa específica com a profundidade (aplicando a fórmula do Passo 2):
\frac{\Delta \rho(z)}{\rho_{0}} \approx \frac{\Delta p(z)}{K}=\frac{\rho_{0} g z}{K}.
Isto dá a fração de aumento da densidade em profundidade z em relação à densidade de superfície \rho_{0}. Nota: aqui usamos aproximação linear válida porque as variações são pequenas.

Passo 5

Média da variação ao longo da coluna (para obter a variação média de densidade no volume do oceano): integramos sobre z e dividimos por h:
\overline{\frac{\Delta \rho}{\rho_{0}}}=\frac{1}{h}\int_{0}^{h}\frac{\rho_{0} g z}{K}\,dz=\frac{\rho_{0} g h}{2K}.
Explicação: a densidade cresce linearmente com z (na aproximação), então a média é metade do valor na base. Essa quantidade é a fração relativa pela qual a densidade média do oceano é maior que \rho_{0}.

Passo 6

Substituindo números e calculando passo a passo:
  • Primeiro calculemos \rho_{0} g h:
\rho_{0} g h = 1000\times 9{,}8\times 4{,}0\times10^{3} = 3{,}92\times10^{7}\,\mathrm{Pa}.
  • Agora a fração média:
\overline{\frac{\Delta \rho}{\rho_{0}}}=\frac{\rho_{0} g h}{2K}=\frac{3{,}92\times10^{7}}{2\times 2{,}2\times10^{9}}=\frac{3{,}92\times10^{7}}{4{,}4\times10^{9}}\approx 0{,}00891.
Converter para percentagem:
0{,}00891 \approx 0{,}891\% \approx 0{,}9\%.
Interpretação física: a densidade média do oceano é cerca de 0{,}9\% maior do que a densidade na superfície devido à compressão por pressão.

Passo 7

Conexão massa/volume/área — como isso afeta a superfície:
  • A massa total dos oceanos M é fixa. O volume atual é V=M/\bar{\rho} (onde \bar{\rho} é a densidade média atual). Se a água se tornasse incompressível com densidade \rho_{0} (menor que \bar{\rho}), o novo volume seria V' = M/\rho_{0}. Logo a razão de volumes é \dfrac{V'}{V}=\dfrac{\bar{\rho}}{\rho_{0}}\approx 1+\overline{\dfrac{\Delta \rho}{\rho_{0}}}.
  • Para mudanças pequenas e assumindo que a forma dos fundos e o aprofundamento médio não alteram a proporção, a área da superfície muda aproximadamente na mesma fração que o volume. Assim o aumento relativo da superfície é cerca de 0{,}9\%.
  • Se quisermos a área adicional absoluta usando A_{\text{oceano}}:
\Delta A \approx 0{,}00891\times A_{\text{oceano}} \approx 0{,}00891\times 3{,}61\times10^{8}\,\mathrm{km^{2}}\approx 3{,}22\times10^{6}\,\mathrm{km^{2}}.

Passo 8

Conclusão e checagem de ordem de grandeza (vibe amiga): o resultado é pequeno, da ordem de 10^{-2} (menos de 1%), o que faz sentido — a água é pouco compressível, então mesmo a pressão de dezenas de MPa no fundo altera a densidade só em frações de por cento. A estimativa é robusta quanto a fatores de ordem unity (se eu tivesse usado h=3{,}7\times10^{3}\,\mathrm{m} ou K ligeiramente diferente, o resultado ficaria na mesma ordem 10^{-3} 10^{-2}).

Resposta

\approx 0{,}9\% de aumento relativo da superfície do oceano.
Isso corresponde a aproximadamente 3{,}2\times10^{6}\,\mathrm{km^{2}} a mais de área.

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