1, 2] Calcule as integrais.
integral1^2 integral0^2 integral-1^1 2+z^2-x y d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
integraly=1^2integralx=0^2integralz=-1^1l(2 + z^2 - x,yr),dz,dx,dy
O conteúdo é integração iterada de função contínua; pelo Teorema de Fubini podemos integrar sucessivamente em z, depois em x e por fim em y.

Passo 2

Integramos primeiro em z, tratando x e y como constantes:
integral-1^1l(2 + z^2 - x,yr),dz =integral-1^1!(2 - x,y),dz ;+;integral-1^1!z^2,dz
Como 2 - x,y é constante em z,
integral-1^1(2 - x,y),dz=(2 - x,y)l[,zr]-1^1 =(2 - x,y)cdot2=4-2x,y
e
integral-1^1z^2,dz =2integral0^1z^2,dz =2cdot1^33 =23
Somando, obtemos
integral-1^1(2 + z^2 - x,y),dz =l(4-2x,yr)+23 =143-2x,y

Passo 3

Agora integramos em x:
integral0^2!l(143-2x,yr),dx =143integral0^2dx -2yintegral0^2x,dx =143cdot2 -2ycdot2^22 =283-4y

Passo 4

Por fim, integramos em y:
integral1^2!l(283-4yr),dy =283integral1^2dy -4integral1^2y,dy =283cdot1 -4cdot2^2-1^22 =283-4cdot32 =283-6 =103

Resposta

103

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